Derivabilità di una funzione continua con massimo relativo

[Asino]

Salve vorrei sapere se è corretto affermare che f è derivabile per x = 0 e la sua derivata in x = 0 è nulla sapendo che f: R → R è continua e avente un massimo relativo per x = 0.

[maurizio.schirinzi]

Ciao, NO!! ... La continuità di una funzione anche in presenza di massimo o minimo relativo non implica necessariamente la derivabilità della funzione nel punto!! ... Infatti una funzione potrebbe avere un punto di max o min relativo anche senza essere necessariamente derivabile. Basta pensare come semplice esempio alla funzione $f(x) = \left| x \right|$ che ha nel punto x=0 un minimo relativo ma ivi non risulta derivabile (punto angoloso).

Non bisogna confondersi con il Teorema di Fermat che esprime una condizione necessaria per la derivata prima uguale a zero in un punto se in quel punto vi è un massimo o un minimo relativo. Infatti il teorema di Fermat vale solo se nel punto sappiamo già che la funzione è derivabile; in altre parole il teorema afferma: "se in un punto sappiamo già che la funzione è derivabile e poi in quel punto sappiamo anche che vi è un massimo o minimo allora la derivata prima è sicuramente uguale a zero in quel punto".

Saluti


PS: Poiché l'argomento di questo topic è relativo alla derivabilità e ai massimi e minimi relativi, nonchè al relativo Teorema di Fermat si rende necessario lo spostamento del topic nella sezione più opportuna. Lo User Admin provvederà al più presto allo spostamento. Vi preghiamo di scegliere bene la sezione di argomento prima di postare in modo da consentire una migliore organizzazione delle risorse del forum. Grazie.

[Asino]

Grazie per la correzione, ho ragionato nel modo sbagliato, dimenticando che una funzione derivabile in un punto è continua e non viceversa.
Scusate se ho inserito il messaggio nella sezione sbagliata, strò più attento la prossima volta.