Teorema di Fermat

[Francobati]

Ho il seguente esercizio: "enunciare il teorema di Fermat, significato geometrico, e rappresentare graficamente un grafico dove è soddisfatta la tesi ma non l'ipotesi".

Ipotesi: Sia $[a,b]$ un intervallo, sia $f:[a,b]→R$ e sia $x_0∈ ]a,b[$ un punto di estremo relativo per $f$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$: allora
Tesi: $f'({x_0}) = 0$.

Le ipotesi sono quindi:
Ipotesi:
1) $x_0$ è un punto interno al dominio;
2) $x_0$ è derivabile;
3) $x_0$ è un punto estremante.

La tesi è quindi:
Tesi:
allora $f'({x_0}) = 0$, cioè $x_0$ è un punto stazionario. Come dovrei procedere?

[maurizio.schirinzi]

Ciao, un esempio di funzione che soddisfa la tesi di Fermat (derivata nulla) in un punto senza che in quel punto sia verificata l'ipotesi (estremante relativo) (max o min) è semplicemente una qualsiasi funzione che abbia in un punto la derivata nulla senza che quel punto sia un massimo o un minimo come ad esempio la cubica:
\[f(x) = {x^3}\]
che nel punto x=0 risulta strettamente crescente senza dunque essere un punto di max o min!

Il significato geometrico di derivata nulla nel punto è sempre quello di tangente orizzontale.

Saluti.


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