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Ho il seguente esercizio: "enunciare il teorema di Fermat, significato geometrico, e rappresentare graficamente un grafico dove è soddisfatta la tesi ma non l'ipotesi".

Ipotesi: Sia $[a,b]$ un intervallo, sia $f:[a,b]→R$ e sia $x_0∈ ]a,b[$ un punto di estremo relativo per $f$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$: allora
Tesi: $f'({x_0}) = 0$.

Le ipotesi sono quindi:
Ipotesi:
1) $x_0$ è un punto interno al dominio;
2) $x_0$ è derivabile;
3) $x_0$ è un punto estremante.

La tesi è quindi:
Tesi:
allora $f'({x_0}) = 0$, cioè $x_0$ è un punto stazionario. Come dovrei procedere?

Ciao, un esempio di funzione che soddisfa la tesi di Fermat (derivata nulla) in un punto senza che in quel punto sia verificata l'ipotesi (estremante relativo) (max o min) è semplicemente una qualsiasi funzione che abbia in un punto la derivata nulla senza che quel punto sia un massimo o un minimo come ad esempio la cubica:
\[f(x) = {x^3}\]
che nel punto x=0 risulta strettamente crescente senza dunque essere un punto di max o min!

Il significato geometrico di derivata nulla nel punto è sempre quello di tangente orizzontale.

Saluti.


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