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Dopo aver esposto il teorema di Fermat e la sua dimostrazione, alla fine si dice che esso è condizione necessario ma NON SUFFICIENTE affinché la funzione presenti un massimo o minimo relativo (quindi equivalentemente anche assoluto) nel punto $x_0$.

Perché? L'unica risposta a questo quesito che mi viene in mente è che se la derivata prima della funzione in un punto ics con zero è uguale a zero $[f'(x_0)]$, allora oltre ad essere un massimo o un minimo relativo, beh, potrebbe anche essere un punto di flesso a tangente orizzontale (ed esso non è né un punto di massimo relativo nè minimo rispetto a f).

Mi piacerebbe sapere se il mio ragionamento è giusto e quali altri punti esistono oltre al punto di flesso a tangente orizzontale tali che la derivata prima uguale a zero non implicano che quello sia un massimo o minimo relativo per la funzione f?

Ciao, è come hai detto! ...

Se la derivata prima è zero in un punto questo non vuol dire che in quel punto c'è un massimo o minimo relativo.
Si tratta di un punto dove, essendo la derivata prima sempre il coefficiente angolare della tangente in quel punto, essendo zero, la tangente sarà orizzontale. Basta pensare alla funzione $f(x) = {x^3}$ che nel punto zero è strettamente crescente (quindi nessun massimo o minimo relativo) eppure la derivata in quel punto è uguale a zero (tangente orizzontale).

Attenzione però che tutti questi discorsi si applicano solo per massimi e minimi relativi di funzioni derivabili dunque non per i massimi e minimi assoluti!

Un punto può essere di massimo assoluto senza essere di massimo relativo e senza avere derivata nulla in esso: basta pensare ai punti al confine di un dominio intervallo [a,b] dove la funzione potrebbe essere esclusivamente definita; negli estremi "a" e "b" la funzione non è derivabile in senso completo (destro-sinistro) e dunque la derivata non esiste!

Inoltre se in punto una funzione non è derivabile non vale Fermat ma questo non vuol dire che non vi può essere un massimo o minimo relativo: basta pensare a un punto angoloso (o cuspide) che fa da massimo o minimo relativo!

Saluti.

PS: Questo topic verrà spostato nella categoria di teoria più appropriata sui teoremi relativi ai massimi/minimi e le funzioni derivabili. Lo User Admin provvederà allo spostamento.