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Ciao a tutti
Mi potete aiutare con questo esercizio?
Enunciare e dimostrare il teorema di Fermat.
Data la f(x)= |x-1|, che ha un minimo assoluto in x=1, dire se soddisfa il teorema in [0,2] motivando la risposta.

il teorema dice:
Ipotesi: Sia $[a,b]$ un intervallo, sia $f:[a,b]→R$ e sia $x_0∈ ]a,b[$ un punto di estremo relativo per $f$. Supponiamo che $f$ sia derivabile in $x_0$: allora
$f'({x_0}) = 0$, cioè $x_0$

Mi potete dire come devo svolgere l'esercizio ??

Il punto x=1 è un punto di separazione del valore assoluto e pur essendo la funzione continua in quel punto non è derivabile. Il limite del rapporto incrementale destro e sininistro vengono diversi: si tratta di un punto angoloso.

Dunque il Teorema di Fermat non è applicabile in quel punto poichè la funzione non è derivabile in esso!

Quel punto tuttavia è comunque un punto di minimo relativo (oltre che di minimo assoluto) in quando rispetta pienamente la definizione di minimo relativo nel suo intorno!

Saluti.

grazie mille