Ciao, per la funzione
\[f(x) = \frac{1}{{\sqrt {x - \sqrt 2 - \sqrt {3 + \left| { - {x^2} + 2} \right|} } }}\]
lo studio del dominio si imposta nel seguente modo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
3 + \left| { - {x^2} + 2} \right| \ge 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;\forall x \in R\\
x - \sqrt 2 - \sqrt {3 + \left| { - {x^2} + 2} \right|} > 0
\end{array} \right.\]
la prima disequazione è banale essendo somma di quantità sempre positive! ... per la seconda invece occorre ricondurla alla forma canonica delle classiche disequazioni irrazionali e studiarla con le relative tecniche secondo il relativo caso del verso della disequazione canonica:
\[\begin{array}{l}
x - \sqrt 2 - \sqrt {3 + \left| { - {x^2} + 2} \right|} > 0\\
\sqrt {3 + \left| { - {x^2} + 2} \right|} < x - \sqrt 2
\end{array}\]
essendo il caso del minore imposteremo un sistema a tre:
\[\left\{ \begin{array}{l}
3 + \left| { - {x^2} + 2} \right| \ge 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;\forall x \in R\\
x - \sqrt 2 \ge 0\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;x \ge \sqrt 2 \\
3 + \left| { - {x^2} + 2} \right| < {(x - \sqrt 2 )^2}
\end{array} \right.\]
dove le prime due disequazioni sono banali mentre la terza è una disequazione con il valore assoluto da gestire aprendo i relativi casi del valore assoluto con le solite tecniche e impostando i due sistemi le cui soluzioni andranno poi unite:
\[\begin{array}{l}
3 + \left| { - {x^2} + 2} \right| < {(x - \sqrt 2 )^2}\\
3 + \left| { - {x^2} + 2} \right| < {x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\\
\left| { - {x^2} + 2} \right| < {x^2} - 2\sqrt 2 x - 1
\end{array}\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
- {x^2} + 2 \ge 0\\
- {x^2} + 2 < {x^2} - 2\sqrt 2 x - 1
\end{array} \right.\;\;\;\;\; \cup \;\;\;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
- {x^2} + 2 \le 0\\
{x^2} - 2 < {x^2} - 2\sqrt 2 x - 1
\end{array} \right.\]
tutte le soluzioni di questi due sistemi andranno poi intersecate con quelle delle altre 2 disequazioni del sistema principale sopra per ottenere quindi il dominio finale della funzione.
Saluti.
