Dominio di funzione con arcoseno

[trieb91]

Salve a tutti, qualcuno potrebbe aiutarmi nel calcolo del Dominio di questa funzione?


\[y= \left\{\begin{matrix} -arcsinx &se & x\leq 0\\ tg\left ( x-\tfrac{\pi }{4} \right ) & se & x> 0 \end{matrix}\right.\]

Il risultato scritto sul libro è:

\[-1\leq x\leq 0 \vee x> 0\wedge x\neq \frac{3}{4}\pi +k\pi\]

Mi ritrovo del tutto con il risultato tranne che per \[x> 0\] che non riesco a capire proprio da dove salta fuori. Inoltre volevo chiedervi se, il fatto di avere -arsinx anzichè arcsinx, cambia il risultato e se c'è una sezione del sito dove posso approfondire questo argomento. Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, forse volevi dire che non ti ritrovi con il risultato per x<=0 ??

Il dominio dell' arcsen(x) è $- 1 \le x \le 1$ perchè essendo l'arcoseno la funzione inversa del seno lui (l'arcoseno) "mangia" numeri solo tra -1 e 1 (compresi) e restituisce angoli nel suo dominio di invertibilità e di definizione che è $[ - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

Pertanto la condizione $- 1 \le x \le 1$ va intersecata con $x \le 0$ relativa al caso in questione della funzione per casi (da unire ovviamente al dominio dell'altro caso per x>0) fornendo quindi il risultato del tuo libro di testo .

Sull'argomento relativo alle inversioni delle funzioni goniometriche con i relativi domini di invertibilità non sono ancora disponibili video-tutorials (in questo momento) tuttavia l'argomento era stato già affrontato parzialmente nel seguente topic di questo forum:

Studio del dominio e del segno di una funzione goniometrica

Saluti.

[trieb91]

Non volevo dire quello, forse mi sono spiegata male. Io ottengo come risultato complessivo \[-1\leq x\leq 0 \vee x\neq 3/4\pi +k\pi\]

mentre sul mio libro riporta come risultato questo scritto sopra e in più \[x> 0\] ed è proprio quest'ultimo risultato che non riesco a capire.

[maurizio.schirinzi]

Allora la questione è ancora più semplice:

Il dominio della funzione tg(x) è $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\;k \in Z$ che nel tuo caso sarà:
\[x - \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\;k \in Z\]
ma questa condizione va poi intersecata con la zona delle x per cui la funzione si identifica con la tangente pertanto si avrà:
\[\left\{ {\left. \begin{array}{l}
x - \frac{\pi }{4} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \;\;\;k \in Z\\
x > 0
\end{array} \right\}} \right.\;\;\; \to \;\;\;x > 0\;\; \wedge \;\;\;x \ne \frac{3}{4}\pi + k\pi \;\;\;k \in {Z^ + }\]
Si noti inoltre che $k \in {Z^ + }$ deve cioè essere un intero positivo perchè a causa della condizione x>0 la periodicità deve girare in senso positivo sulla circonferenza goniometrica.


Saluti.

[trieb91]

Ok quindi ogni qual volta ho una funzione che assume due diversi valori discriminando tra le x<0 e le x>0 devo fare questo tipo di intersezione? La ringrazio per la celere risposta, saluti.

[maurizio.schirinzi]

SI !! ... qualunque studio fai su ogni espressione matematica di una funzione definita per casi (o a tratti) va sempre analizzato ed intersecato con la rispettiva zona di definizione della x relativa a quella espressione, poichè la funzione è definita con quella espressione matematica solo per quelle specifiche x.

Saluti.