Studio del dominio e del segno di una funzione goniometrica

[florinda]

Ciao ragazzi, ho un problema in merito allo studio di funzioni goniometriche. Allora so che per quanto riguarda il seno, coseno, tangente, cotangente e le funzioni inverse varie il dominio è tutto R, mentre per quanto riguarda arcseno e arcocoseno il domio è tra -1 e 1. Ok. Il mio problema nasce in questo. Cioè quando ho una funzione composta. Nello studio del domonio devo tener conto di cosa? dell argomento? cioè devo trovare le condizioni di esistenza dell argomento fregandomene del funzione inziale? esempio f(x)= arcoseno[e^2x] (ho due funzioni), allora io per quanto riguarda il dominio faccio -1< e^2x>1. Quindi il dominio è (meno infinito, -1) unito a (1, più infinito)? e nello studio del segno, cosa faccio? studio sempre e solo e^2x>o (il ke significa che è sempre maggiore di zero? o devo studiare arcoseno (e^2x)>o? e come diventa?
cosi come la funzione arcocotangente. Sappaimo che il dominio è tutto R, dal grafico però rosulta che è sempre positiva e liitata tra zero e pigrega, quindi se io ho una studio tipo f(x) arcocotangente e^2x? nello studio del dominio so che è tutto R xkè non mi crea problemi nessun componente, ma nello studio del segno? so che l arcocotangete è sempre positiva quindi mi basta sapere l andamento del grafico o devo studiarmi cmq l argomento?
Ho una confusione assurda, in merito alla funzione e al suo arogmento, alcuni mi hanno detto di tenere presente i vari grafici, altri mi hanno detto di studiare l argomento. Potete illuminarmi in merito al dominio e studio del segno?

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
da quanto hai scritto, e da quel poco che si riesce a capire, direi che che hai effettivamente una gran confusione su queste cose!!...
Vediamo dunque di fare un po di chiarezza in attesa dei futuri video-tutorials che chiariscano in modo definitivo ogni questione...

Dunque per quanto riguarda le funzioni goniometriche "madri" :
sen(x) e cos(x) dominio tutto R
tg(x) dominio R - (pi/2 + k pi)
cotg(x) dominio R - (k pi)

* pi = pigreco

Le funzioni goniometriche inverse sono ottenute mediante procedimento di inversione su un dominio ristretto a causa del fatto che le funzioni goniometriche madri non sono biettive nel loro dominio naturale; per invertire una funzione deve essere biettiva almeno su una parte di dominio!!

Occorre prima di tutto capire bene il procedimento di inversione di una funzione goniometrica madre; facciamo l'esempio dell'inversione della funzione seno: per invertire la funzione y=sen(x) in x=arcsen(y) occorre considerare il sen(x) su un dominio ristretto all'intervallo dove la funzione è biettiva e per convenzione si sceglie l'intervallo x € [-pi/2, pi/2] (vedi il grafico del seno che in quell'intervallo è biettivo!).

Dopo aver quindi invertito la funzione nell'intervallo corretto, dando quindi senso alla funzione x=arcsen(y)= l'arco o angolo il cui seno è y,
"ribattezzando" poi le variabili x e y si da vita alla "nuova" funzione y=arcsen(x) dove y è l'arco o angolo il cui seno è x ...

... questo significa quindi che qualunque cosa sia l'argomento x, esso rappresentando valori di seno, cioè nella nuova formulazione y=arcsen(x), tali valori di x devono stare tra -1 e 1 e quindi x € [-1,1] sarà il dominio della funzione y=arcsen(x); questo vuol dire che la funzione y=arcsen(x) può "mangiare" sulla x solo numeri tra -1 e 1 e fornire in uscita sulla y valori di angolo/arco il cui seno è x e quindi, per le limitazioni prima imposte nel procedimento di inversione, potrà dare in uscita valori sulla y solo come angoli nell'intervallo tra -pi/2 e pi/2 !!

Una volta capito bene tutto questo, calcolare il dominio di una funzione composta con y=arcsen(x) è semplicissimo; prendiamo ad esempio la funzione: \[y = arcsen(x - 2)\] l'argomento (x-2) rappresentando per quanto su detto valori di seno e potendo arcsen() "mangiare" nel suo argomento solo numeri tra -1 e 1 occorre porre subito la condizione sull'argomento: \[ - 1 \le x - 2 \le 1\] da cui \[1 \le x \le 3\] e questo sarà il dominio della funzione !!

Nel caso del tuo esempio \[y = arcsen({e^{2x}})\] sarà \[ - 1 \le {e^{2x}} \le 1\] dove \[ - 1 \le {e^{2x}}\] è sempre vera essendo l'esponenziale sempre positivo mentre invece \[{e^{2x}} \le 1\] è verificata per \[x \le 0\] che sarà quindi il dominio della tua funzione.

Per le altre funzioni goniometriche si procede in modo analogo ricordando bene il procedimento di inversione che porta alle rispettive definizioni nei rispettivi domini di invertibilità.

Per lo studio del segno occorre tenere sempre in mente cosa fornisce in uscita la y dove y=arcsen(x) e quindi i valori di y (angoli il cui seno è x) saranno sempre tra -pi/x e pi/2 per motivi su detti; quindi per trovare le zone di segno, poichè i valori positivi di y sono tra 0 e pi/2 mentre quelli negativi sono tra -pi/2 e zero, occorre "pilotare" l'argomento x con i valori giusti della x per far si che in uscita la y sia positiva o negativa; pertanto per avere y positive (cioè tra 0 e pi/2) occorre "dire" alla x di assumere valori di seno (la x sono valori di seno!) che corrispondano a quegli angoli tra 0 e pi/2, e questo vuol dire che la x deve stare tra 0 e 1, cioè i valori di seno che corrispondono agli angoli tra 0 e pi/2; dunque per $0 < x < 1$ abbiamo le y positive e per $- 1 < x < 0$ avremmo le y negative.

Nel tuo caso basta imporre queste condizioni sull'argomento di $arcsen({e^{2x}})$ e cioè su ${e^{2x}}$ e quindi si avrà $0 < {e^{2x}} \le 1$ per la positività della funzione e $ - 1 \le {e^{2x}} < 0$ per la negatività della funzione, da cui troverai gli intervalli delle x corrispondenti...

Ciao

[florinda]

ok quindi ricapitolando:
1) arcoseno e arcocoseno per il dominio della funzione dobbiamo studiare l' argomento tra [-1,1];
2) studio del segno: per l arcoseno la positività tra (o;1] per la negatività tra [-1,o); mentre per l arcocoseno che è sempre positva tra [-1;1] quindi che faccio? pongo l argomento sempre positivo?
3) arctangente come si studia il segno? è positiva da (0 a + infinito) ed negativa da (- infinito a 0)?, e l arccotangente che è sempre positiva?

Gli schemi dei grafici credo di saperli, ma è nella pratica che provo difficoltà sopratutto per me che ho forti lacune dalle scuole superiori, all università la prof NO COMMENT, e quando ho fatto ripetizioni private ho studiato solo alcuni esempi senza capirci granchè.

Grazie per la pazienza che ha nei miei confornti e credo di parlare a nomi di tutti, grazie per questo aiuto gratuito che lei ci offre. Buon lavoro.

P.s. Questo è il primo forum al quale sono iscritta

[maurizio.schirinzi]

Riepilogo dei domini e immagini di codominio delle funzioni goniometriche inverse:
\[\begin{array}{l}
y = arcsen(x) - - - \to - 1 \le x \le 1 \wedge - \frac{\pi }{2} \le y \le \frac{\pi }{2}\\
y = \arccos (x) - - - \to - 1 \le x \le 1 \wedge 0 \le y \le \pi \\
y = arctg(x) - - - - \to \forall x \in R \wedge - \frac{\pi }{2} < y < \frac{\pi }{2}\\
y = arccotg(x) - - - \to \forall x \in R \wedge 0 < y < \pi
\end{array}\]
Sulla base di questi dati e dei relativi grafici delle funzioni (ma anche ragionando sulla circonferenza goniometrica) è facile risalire ai valori "pilota" della x per ottenere lo studio del segno sulla y:
- per y=arcsen(x) con x compreso tra -1 e 1 i valori di uscita sulla y sono compresi tra -pi/2 e pi/2 (estremi compresi) e quindi nel dominio ci sono due zone di segno diverse, x compreso tra zero (escluso) e 1 (compreso) per la positività, e x compreso tra -1 (compreso) e zero (escluso) per la negatività, il nullo per x=0;
- per y=arccos(x) con x compreso tra -1 e 1 i valori di uscita sulla y sono sempre positivi/nulli e minori uguali di pi, quindi la funzione è sempre positiva/nulla nel suo dominio, il nullo per x=1;
- per y=arctg(x) con x qualsiasi in R i valori di uscita sulla y sono compresi tra -pi/2 e pi/2 (esclusi gli estremi) e quindi nel dominio ci sono due zone di segno diverse: x compreso tra -infinito e zero (escluso) per la positività e x compreso tra zero (escluso) e +infinito per la negatività, il nullo per x=0;
- per y=arccotg(x) con x qualsiasi si hanno sempre valori di uscita sulla y positivi e minori di pi (escluso), quindi la funzione è sempre positiva nel suo dominio, per ogni x appartenente a R;

da queste considerazioni è facile imporre le condizioni a cui deve sottostare l'argomento x, o qualsiasi espressione di x al suo posto (funzione composta), per ricavare le condizioni sulla x che corrispondono alle zone di segno desiderate.

Spero di essere riuscito a darti un quadro globale... quando saranno disponibili i futuri video-tutorials su queste cose saranno precisati nei minimi dettagli tutti i discorsi teorici con tantissimi esercizi di esempio...

a presto

[florinda]

Perfetto,credo ora sia tutto più chiaro.
Allora ci sentiamo ai prossimi dubbi

[florinda]

Mi deve scusare, ma non ci siamo...
oggi ho avuto tra le mani il risultato del mio esame e del famoso studio di funzione "arcseno (e^2x)", allora per quanto riguarda il Dominio ci siamo, esso è (-infinito,o] ok ci sono, quindi io nel disegno del grafico vado a cancellare tutto la parte destra che va da zero a + infinito. Adesso nella fase dello studio del segno, lei mi ha detto che tenendo presente il grafico ed i corrispettivi valori della x e della y, io so che l'arcoseno è negativo per valori compresi (-1 e 0) e positivo per valori della x compresi tra (o e 1), ora, sapendo che nel mio caso la funzione esiste solo tra meno infinito e zero, perchè dall'esito dell'esame leggo che la mia funzione è sempre positiva? L'arcoseno non dovrebbe assumere valori negativi da quel lato del grafico? Invece deduco che qui per lo studio del segno sia stato fatto un ragionamento sull'agomento (e^2x) il quale è sempre positivo. Ecco a cosa mi riferivo quando le scrissi che non so cosa studiare nella fase della positività o negatività.
Non ci sto capendo più nulla

[maurizio.schirinzi]

Infatti... tutto torna benissimo!!... nel dominio della tua funzione x<0 la funzione risulta sempre positiva...
se guardi quanto ho scritto nel mio "penultimo" post (non nell'ultimo post dove invece riporto i soli domini e i segni generici delle funzioni goniometriche inverse) ... cioè dove scrivo...

<<
Nel tuo caso basta imporre queste condizioni sull'argomento di $arcsen({e^{2x}})$ e cioè su ${e^{2x}}$ e quindi si avrà $0 < {e^{2x}} \le 1$ per la positività della funzione e $ - 1 \le {e^{2x}} < 0$ per la negatività della funzione, da cui troverai gli intervalli delle x corrispondenti...
>>

Pertanto:
dalla prima disequazione risalta fuori $x \le 0$ cioè l'intero dominio della funzione!!
dalla seconda disequazione non ci sono soluzioni essendo l'esponenziale sempre positivo non potrà essere compreso tra -1 e 0;

in allegato il grafico della tua funzione.

Saluti.

[florinda]

quindi io per essere più sicura, mi studio cmq entrambe le condizioni, infatti se le analizzo e le metto a sistema ottengo la positivà in x<o

benedetta matematica!!!!!!!

[maurizio.schirinzi]

SI !! ... devi risolvere entrambe le condizioni a sistema! ...

inoltre la funzione è positiva anche per x=0 quindi complessivamente sull'intero dominio $x \le 0$ e non si annulla mai perché l'annullamento dell'arcoseno si avrebbe se il suo argomento è nullo ma, visto che l'argomento è un esponenziale, esso non si annulla mai; infatti, come si vede anche dal grafico postato, la funzione "tende" a zero asintoticamente mediante un asintoto orizzontale che è l'asse x, mentre in x=0 assume il valore positivo \[y = f(0) = arcsen({e^0}) = arcsen(1) \approx 1,57\]

saluti