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Il testo dice:

sia data la funzione definita dalla legge

\[f(x)=log\left ( \frac{x^2-6x+15}{4x-6} \right )\]

Per quali valori dell'insieme di esistenza si ha f(x)>0

Ora io ho, come sempre, posto l'argomento del logaritmo maggiore di 0. Così facendo, il numeratore presenta un delta negativo, il denominatore posto maggiore di 0 dà come risultato > 3/2. Traccio nel grafico le soluzioni e prendo i punti in comune che sono solo quelli > 3/2. E quindi

\[D_f=(3/2,+\infty)\]

Ho scoperto però che il risultato corretto è

\[D_f=(3/2,3)\ \cup \ (7,+\infty)\]

Perché?

Ciao, NO !! ... per lo studio del dominio va risolta la disequazione "argomento del logaritmo > 0" !!

Si studia il segno del numeratore e del denominatore e si piazzano entrambi su uno schema di segno (non di soluzioni!) e si fa il prodotto dei segni per avere il segno di tutta la frazione complessiva. Solo allora si risponde alla "domanda" della disequazione (>0) per avere le soluzioni di quella disequazione che corrisponde al dominio della funzione.

Successivamente per studiare il segno della funzione si pone tutta la funzione (logaritmo compreso) > 0 e si risolve una disequazione logaritmica con relative tecniche delle disequazioni logaritmiche per ottenere poi la risposta alla domanda del > 0 dalla quale si ricava per esclusione la negatività della funzione avendo cura di intersecare il tutto con le zone di dominio della funzione (cioè dove esiste il logaritmo)!

Credo che il tuo dubbio derivi dai soliti studi di segno che spesso nelle scuole superiori vengono spiegati con metodi didattici (a mio parere) sbagliati e che portano dunque a confusioni gli studenti su questo importantissimo argomento!! ... Speriamo di far chiarezza al più presto su queste cose con i futuri video-tutorials su questi argomenti.

Nel frattempo ti consiglio la visione dei video-tutorials di Esercizi sullo studio completo di funzioni logaritmiche dove ci sono video-esercizi in cui viene spiegato passo passo come studiare una funzione del tipo di quella che hai postato. Ecco il link della relativa playlist:

Analisi 1 >> Studio di Funzioni >> Studio COMPLETO >> Funzioni Logaritmiche

Saluti.