Studio del segno della funzione arcseno

[mircandro90]

Ciao a tutti ragazzi,sto trovando alcune difficoltà con lo svolgimento di questo studio di funzione specialmente per quanto riguarda il segno:
f(x)= arcsen(1+2/x)

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = arcsen(1 + \frac{2}{x})\]
Ricordando che la funzione y=arcsen(x) è definita come inversa della funzione seno, allora essa "mangia" numeri x compresi tra -1 e 1 (che sono i valori del seno) e restituisce angoli y compresi tra $-\frac{\pi }{2}$ e $\frac{\pi }{2}$ (nel relativo dominio di biettività definito nel procedimento di inversione della funzione seno).

Quindi si avrà dunque che:
\[ - 1 \le 1 + \frac{2}{x} \le 1\]
\[ - \frac{\pi }{2} \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]

Pertanto per lo studio del segno basta imporre la positività e negatività nei relativi intervalli dell'argomento della funzione
\[0 < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < \frac{\pi }{2}\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;0 < 1 + \frac{2}{x} < 1\]
\[ - \frac{\pi }{2} < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\; - 1 < 1 + \frac{2}{x} < 0\]
e risolvere quindi le relative disequazioni che corrispondono al segno di interesse.

Saluti.


PS: Poichè il topic riguarda lo studio del segno lo User Admin provvederà a spostarlo nella più appropriata categoria "Studio di Funzioni >> Studio Segno e Intersezioni con Assi".

[mircandro90]

grazie mille della risposta, ma io sto trovando difficoltà per tutta la funzione sin dall'insieme di definizione e poi fino al grafico finale. Purtroppo non è soltanto una questione di studio del segno

[mircandro90]

Nessuno sa aiutarmi con lo studio completo di questa funzione?

[maurizio.schirinzi]

Lo studio completo di una funzione è troppo lungo da postare qui !! ... inoltre, come da regolamento, non rispondiamo a richieste di svolgimento integrale di esercizi postati senza una specifica domanda e senza riportare le proprie "tentate" soluzioni.

Prova a impostare una domanda specifica riportando la tua "tentata" soluzione ed evidenziando i problemi incontrati o i tuoi dubbi !!

Grazie.

[mircandro90]

Per prima cosa ho posto l'argomento dell'arcoseno compreso tra meno uno e uno e ho svolto le due funzioni. In seguito le ho messe a sistema e ho calcolato l'unione di queste...a me dà come risultato x<-1 però non sono certo di aver fatto bene. Per quanto riguarda invece lo studio del segno della funzione,cosa devo fare?Pongo l'argomento dell'arcoseno maggiore di zero?

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... la soluzione del sistema è $x \le - 1$ (compreso anche -1)! [EDIT] Correzione: $x \le - 2$ (compreso anche -2)!

Riguardo allo studio di segno basta porre:
\[f(x) = arcsen(1 + \frac{2}{x}) \ge 0\]
poichè sappiamo che per definizione l'arcoseno mangia numeri tra -1 e 1 (che sono i valori di seno) e restituisce angoli tra $- \frac{\pi }{2}$ e $\frac{\pi }{2}$ cioè:
\[ - \frac{\pi }{2} \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]
dobbiamo "obbligare" l'arcoseno a restituire angoli positivi o nulli cioè:
\[0 \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]
per fare questo basterà "pilotare" il suo argomento imponendogli i valori di seno che corrispondono (sulla circonferenza goniometrica) a quegli angoli, e cioè i valori di seno tra 0 e 1 compresi; dunque imponiamo che:
\[0 \le 1 + \frac{2}{x} \le 1\]
da cui risolvendo il solito sistema ...
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 + \frac{2}{x} \le 1\\
1 + \frac{2}{x} \ge 0
\end{array} \right.\]
si ottengono i valori di x che corrispondono alla positività e annullamento della funzione; per esclusione di ricavano poi i valori della x per la negatività.

Saluti.

[mircandro90]

Grazie mille della risposta. Ho impostato la positività come hai detto tu e ho ottenuto x maggiore e uguale di zero, mentre come facciamo a trovare la negatività per esclusione visto che la devo dedurre da un grafico di unione e non da un semplice grafico dei segni? Quali sono i limiti della funzione?

[maurizio.schirinzi]

No! ... una volta trovate le soluzioni del sistema quelle sono le x dove la funzione è positiva (visto che ti sei posto la domanda disequativa con il maggiore o uguale a zero). Dunque le soluzioni per esclusione (dove la funzione sarà negativa) sono quelle "complementari" a quelle trovate; cioè ad esempio se le soluzioni del sistema sono x>=0 allora le complementari sono x<0!

Saluti.

[mircandro90]

Si però per la positività ho imposto l'argomento dell'arcoseno compreso tra zero e uno e dunque poi ottengo un sistema.Sviluppando il sistema ho ovviamente l'unione e quindi non è un grafico dei segni o sbaglio?

[maurizio.schirinzi]

NO!! ... Credo che tu abbia molte confusioni tra gli schemi dei segni e gli schemi di soluzione a intersezione che si fanno nei sistemi!! ... Si tratta di due "mondi" molto differenti!! ...

La causa dei tuoi dubbi è spesso dovuta ai discutibili metodi didattici di alcuni insegnanti delle scuole superiori che portano gli studenti a confondere gli schemi dei segni con le "domande" di segno a cui bisogna rispondere nelle disequazioni e poi gli schemi di riporto delle soluzioni a intersezione nei sistemi! ... Tutti e tre i "mondi" sono completamente differenti!!

Speriamo di poter fare definitivamente chiarezza su queste cose in futuri video-tutorials, nel frattempo ti consiglio, oltre a un buon libro, di guardare i molti video-tutorials disponibili sugli studi di funzione, dove, nelle fasi di studio di segno e di dominio, vengono passo-passo svolti tutti gli studi di segno ed anche gli schemi di intersezione dei sistemi!

Per quanto riguarda la tua funzione per lo studio della negatività della funzione puoi imporre:
\[ - \frac{\pi }{2} < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < 0\]
e quindi:
\[ - 1 < 1 + \frac{2}{x} < 0\]
risolvendo poi il relativo sistema che ne deriva come sopra.

Tra l'altro, riguardando il risultato precedente dei calcoli relativi allo studio della positività, a me viene $x \le - 2$ e non (come ti avevo confermato nel mio post precedente che ho corretto in EDIT) $x \le - 1$ ... prova a ricontrollare i calcoli!

Saluti.

[mircandro90]

Ok ok grazie mille.Cmq sono riuscito a completare l'esercizio,prima avevo frainteso le tue parole e non avevo capito bene come effettuare la negatività, invece poi ho seguito il metodo da te citato nell'ultimo post e ci sono riuscito.Ho trovato l'errore anche del calcolo precedente.Per quanto riguarda gli studi di funzione,avevo dei dubbi prevalentemente sulle funzioni goniometriche inverse mentre sulle altre non ho problemi.Grazie ancora dell'aiuto!!!