Segno di una funzione logaritmica con valore assoluto

[piero87]

ciao a tutti mi potete dare una mano con lo studio del segno di questa funzione?
\[ln|1-x^2|\]

apro il contenuto del valore assoluto per studiare il segno?

per x>0 avrò \[ln(1-x^2)\]

per x<0 avrò \[ ln(-1+x^2)\]

ora come devo fare per lo studio del segno? per x>0 prendo in considerazione il segno di x>0?

grazie mille

[maurizio.schirinzi]

NO !! ... Cosa c'entra l'apertura del valore assoluto nell'argomento del logaritmo con lo studio del segno di tutta la funzione??

Devi impostare una domanda di segno su tutta la funzione ottenendo una disequazione logaritmica da risolvere con le tecniche e procedure delle disequazioni logaritmiche:
\[ln(|1 - {x^2}|) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;ln(|1 - {x^2}|) \ge \ln (1)\;\;\; \to \;\;\;|1 - {x^2}|\, \ge 1\]
da cui si ottiene dunque una disequazione algebrica razionale intera con valore assoluto che va risolta con le tecniche e procedure delle disequazioni con valore assoluto, aprendo i casi o ricordando le proprietà fondamentali del valore assoluto;

applicando quest'ultimo metodo si ha:
\[1 - {x^2} \le - 1\;\;\; \vee \;\;\;1 - {x^2} \ge 1\;\;\;...\]
da cui, risolvendo le due disequazioni e facendo l'unione delle soluzioni si ha la risposta alla domanda di segno di positività e annullamento fatta all'inizio sulla funzione.

Dunque per esclusione si ricava la zona complementare di negatività, a patto naturalmente di intersecare sempre il tutto con il campo di esistenza della funzione (cioè del logaritmo) che nel tuo caso è $x \ne \pm 1$.

Saluti.