Ciao,
\[f(x) = (\sqrt {{{\ln }^2}(\left| x \right|) - \ln (\left| x \right|)} - \ln (\left| x \right|))\;arctg(\frac{{\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| - 1}})\]
Per studiare il segno di questa funzione occorre prima di tutto calcolare come sempre il dominio da intersecare alla fine con le soluzioni delle disequazioni impostate per lo studio del segno.
Dunque per il dominio abbiamo:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{\ln ^2}(\left| x \right|) - \ln (\left| x \right|) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\ln (\left| x \right|) \le 0\;\; \vee \;\;\ln (\left| x \right|) \ge 1\\
x \ne 0\\
\left| x \right| - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;\left| x \right| \ne 1\;\;\;x \ne \pm 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\ln (\left| x \right|) \le \ln (1)\;\; \vee \;\;\ln (\left| x \right|) \ge \ln (e)\;\;\; \to \;\;\;\left| x \right| \le 1\;\; \vee \;\;\left| x \right| \ge e\\
x \ne 0\\
\left| x \right| - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;\left| x \right| \ne 1\;\;\;x \ne \pm 1
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\left| x \right| \le 1\;\; \vee \;\;\left| x \right| \ge e\;\;\; \to \;\;\; - 1 \le x \le 1\;\; \vee \;\;x \le - e\;\; \vee \;\;x \ge e\\
x \ne 0\\
\left| x \right| - 1 \ne 0\;\;\; \to \;\;\;\left| x \right| \ne 1\;\;\;x \ne \pm 1
\end{array} \right.\]
Per studiare il segno della funzione studiamo il segno dei singoli fattori di cui è composta la funzione.
Per il primo fattore ci poniamo una domanda di segno (ad esempio dove è maggiore o uguale a zero) e risolvendo la disequazione cosi ottenuta troveremo le zone di positività. Per esclusione avremmo anche le zone di negatività a meno del campo di esistenza. Pertanto si ha:
\[\sqrt {{{\ln }^2}(\left| x \right|) - \ln (\left| x \right|)} - \ln (\left| x \right|) \ge 0\]
posto
\[\ln (\left| x \right|) = t\]
\[\sqrt {{t^2} - t} - t \ge 0\;\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {{t^2} - t} \ge t\]
che risulta una disequazione irrazionale elementare-canonica (caso del maggiore) che va risolta con le solite procedure studiate nel capitolo delle disequazioni irrazionali, impostando i seguenti 2 sistemi risolventi
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - t \ge 0\\
t < 0
\end{array} \right.\;\;\; \cup \;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
t \ge 0\\
{t^2} - t \ge {t^2}
\end{array} \right.\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
t \le 0\;\; \vee \;\;t \ge 1\\
t < 0
\end{array} \right.\;\;\; \cup \;\;\;\left\{ \begin{array}{l}
t \ge 0\\
t \le 0
\end{array} \right.\]
la cui unione delle soluzioni darà
\[t < 0\;\;\; \cup \;\;\;t = 0\;\;\; \to t \le 0\]
e ricordando la posizione fatta prima per la t si ha
\[\ln (\left| x \right|) \le 0\;\;\; \to \;\;\;\ln (\left| x \right|) \le \ln (1)\;\;\; \to \;\;\;\left| x \right| \le 1\;\;\; \to \;\;\; - 1 \le x \le 1\]
pertanto possiamo concludere che lo studio del segno in positività per il primo fattore sarà
\[\sqrt {{{\ln }^2}(\left| x \right|) - \ln (\left| x \right|)} - \ln (\left| x \right|) \ge 0\;\;\; \to \;\;\; - 1 \le x \le 1\]
Per lo studio del segno del secondo fattore della funzione si ha
[EDIT] - Correzione errore\[arctg(\frac{{\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| - 1}}) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;\frac{{\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| - 1}} \ge 0\]
ponendo per comodità
\[\left| x \right| = t\]
si ha
\[\frac{{t + 1}}{{t - 1}} \ge 0\;\;\; \to \;\;\;t \le - 1\;\; \vee \;\;t \ge 1\]
ricordando la posizione della t si avrà
\[\left| x \right| \le - 1\;\; \vee \;\;\left| x \right| \ge 1\]
e risolvendo queste disequazioni con il valore assoluto con le solite procedure di questo tipo di disequazioni si ha
\[\not \exists x \in R\;\; \vee \;\;x \le - 1\;\; \vee \;\;x \ge 1\]
pertanto la conclusione dello studio del segno in positività per il secondo fattore della funzione sarà
\[arctg(\frac{{\left| x \right| + 1}}{{\left| x \right| - 1}}) \ge 0\;\;\; \to \;\;\;x \le - 1\;\; \vee \;\;x \ge 1\]
A questo punto occorre mettere in uno schema di segno unico tutte le informazioni di segno (sia in positività che in negatività) dei due fattori di cui è composta la funzione ed eseguire quindi un prodotto dei segni per avere le zone di segno della funzione che andranno ovviamente intersecate con il dominio della funzione per concludere lo studio del segno della funzione stessa.
Saluti.
NB: Questo topic riguarda lo studio di segno di una funzione e non lo studio completo. Andava dunque postato nella categoria più appropriata "Studio di Funzioni >> Studio Segno e Intersezioni con Assi". Lo User Admin provvederà allo spostamento del topic.
