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salve arei bisogno del suo aiuto con questo esercizio..

Si studino l'insieme di definizione e il segno della funzione:

$f(x)=arcsin\left ( \sqrt{log^{2}x-logx}-logx+1 \right )$


grazie

Ciao, ti preghiamo di correggere il codice LaTex della formula rieditando il post !!

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Grazie.

Ciao, ti riporto i passi fondamentali dello studio del dominio e del segno lasciando a te i dettagli degli ovvi calcoli relativi alle solite disequazioni razionali, irrazionali e logaritmiche:
\[f(x) = arcsen(\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1)\]
Per il dominio occorre impostare il C.E.
\[C.E.\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
{\ln ^2}(x) - \ln (x) \ge 0\\
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1
\end{array} \right.\]
dove la seconda disequazione logaritmica si risolve per sostituzione
\[\begin{array}{l}
{\ln ^2}(x) - \ln (x) \ge 0\\
\ln (x) = t\\
{t^2} - t \ge 0\;\;\; \to \;\;\;t \le 0\; \vee \;t \ge 1\;\;\; \to \;\;\;\ln (x) \le 0\; \vee \;\ln (x) \ge 1\\
x \le 1\; \vee \;x \ge e
\end{array}\]
la terza disequazione diventa
\[\begin{array}{l}
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1\\
- 2 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0
\end{array}\]
che equivale al sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0\\
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} \ge - 2
\end{array} \right.\]
da risolvere sempre per sostituzione
\[\begin{array}{l}
\ln (x) = t\\
\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\;\;\; \to \;\;...\\
\sqrt {{t^2} - t} \ge - 2\;\;\; \to \;\;\;\forall t \in R\;\;con\;\;{t^2} - t \ge 0
\end{array} \right.
\end{array}\]
da cui ricavando t=... e poi x=... si otterrà il sistema finale da intersecare che ci darà il dominio della funzione
\[C.E.\left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \le 1\; \vee \;x \ge e\\
x = \;...
\end{array} \right.\]

Per lo studio del segno occorre porre la seguente domanda di segno
\[arcsen(\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1) \ge 0\]
che equivale a
\[\begin{array}{l}
0 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1\\
- 1 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0
\end{array}\]
e quindi al sistema
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \le 0\\
\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) \ge - 1
\end{array} \right.\]
che andrà risolto con la solita sostituzione
\[\ln (x) = t\;...\]
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\\
\sqrt {{t^2} - t} - t \ge - 1
\end{array} \right.\]
su cui si dovranno applicare le solite procedure delle disequazioni irrazionali per ottenere le soluzioni prima in t e poi in x. Da questo studio di segno di dedurrà quindi il segno della funzione e le intersezioni con l'asse x (i punti di verifica della parte equativa della disequazione di segno).

E' inutile dire che tutto quanto sopra richiede una perfettissima conoscenza delle tecniche risolutive di tutti i tipi di equazioni (razionali, irrazionali, logaritmiche) che di solito si studiano alle scuole superiori!

Saluti.

vorrei chiederle una domanda:

ma per il segno dobbiamo studiare quando è maggiore o uguale a zero...
ma sappiamo che l'arcoseno lo è solo per valori compresi tra 0 e 1..
è giusto..

fammi sapere..
inoltre mi potreste fare tutti i passaggi..

grazie..

Si! ... per l'arcoseno occorre prendere i valori compresi tra 0 e 1 !!

Per quanto riguarda il sistema di disequazioni irrazionali ti risolvo la prima equazione e ti imposto la seconda. Lascio a te i calcoli banali che dovresti sapere alla perfezione!
\[\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\\
\sqrt {{t^2} - t} - t \ge - 1
\end{array} \right.\]
Per la prima disequazione si ha
\[\sqrt {{t^2} - t} - t \le 0\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {{t^2} - t} \le t\]
che va risolta con la procedura delle disequazioni irrazionali in forma canonica nel cosiddetto "caso del minore" impostando un solo sistema a 3 disequazioni
\[\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - t \ge 0\;\;\; \to \;\;\;t \le 0\; \vee \;t \ge 1\\
t \ge 0\\
{t^2} - t \le {t^2}\;\;\; \to \;\;\; - t \le 0\;\;\; \to \;\;\;t \ge 0
\end{array} \right.\]
la cui soluzione finale di intersezione sarà
\[t \ge 1\]

Per la seconda disequazione irrazionale
\[\sqrt {{t^2} - t} - t \ge - 1\;\;\; \to \;\;\;\sqrt {{t^2} - t} \ge t - 1\]
nel cosiddetto "caso del maggiore" (in forma canonica) vanno impostati 2 sistemi con 2 disequazioni ciascuno
\[(1)\left\{ \begin{array}{l}
{t^2} - t \ge 0\\
t - 1 < 0
\end{array} \right.\;\;\; \cup \;\;(2)\left\{ \begin{array}{l}
t - 1 \ge 0\\
{t^2} - t \ge {(t - 1)^2}
\end{array} \right.\]
lascio a te i calcoli e l'unione finale delle soluzioni dei due sistemi (1) e (2) e poi l'intersezione finale del sistema principale delle 2 disequazioni iniziali!

Saluti.

Allora abbiamo che:

l'insieme di definizione è definito da:

$D:\left \{ x\in \mathbb{R}\mid x\geq e \right \}$


per il segno della funzione, come già detto occorre prendere i valori compresi tra 0 e 1:

$arcsen(\sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1) \geq 0$

$0 \le \sqrt {{{\ln }^2}(x) - \ln (x)} - \ln (x) + 1 \le 1$

e risolvendola otteniamo il sistema:

$\left\{\begin{matrix}
x\leq 1\, \vee \, x> e\\
x> e
\end{matrix}\right.\, \, \Rightarrow \, x> e$

quindi possiamo dire che la funzione nel suo dominio è sempre positiva...

è corretto...

mi faccia sapere se c'è qualche errore..
grazie..

SI!! ... la funzione è sempre positiva o nulla nel suo dominio!