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Ciao a tutti ragazzi,sto trovando alcune difficoltà con lo svolgimento di questo studio di funzione specialmente per quanto riguarda il segno:
f(x)= arcsen(1+2/x)

Ciao,
\[f(x) = arcsen(1 + \frac{2}{x})\]
Ricordando che la funzione y=arcsen(x) è definita come inversa della funzione seno, allora essa "mangia" numeri x compresi tra -1 e 1 (che sono i valori del seno) e restituisce angoli y compresi tra $-\frac{\pi }{2}$ e $\frac{\pi }{2}$ (nel relativo dominio di biettività definito nel procedimento di inversione della funzione seno).

Quindi si avrà dunque che:
\[ - 1 \le 1 + \frac{2}{x} \le 1\]
\[ - \frac{\pi }{2} \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]

Pertanto per lo studio del segno basta imporre la positività e negatività nei relativi intervalli dell'argomento della funzione
\[0 < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < \frac{\pi }{2}\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;0 < 1 + \frac{2}{x} < 1\]
\[ - \frac{\pi }{2} < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\; - 1 < 1 + \frac{2}{x} < 0\]
e risolvere quindi le relative disequazioni che corrispondono al segno di interesse.

Saluti.


PS: Poichè il topic riguarda lo studio del segno lo User Admin provvederà a spostarlo nella più appropriata categoria "Studio di Funzioni >> Studio Segno e Intersezioni con Assi".

grazie mille della risposta, ma io sto trovando difficoltà per tutta la funzione sin dall'insieme di definizione e poi fino al grafico finale. Purtroppo non è soltanto una questione di studio del segno

Nessuno sa aiutarmi con lo studio completo di questa funzione?

Lo studio completo di una funzione è troppo lungo da postare qui !! ... inoltre, come da regolamento, non rispondiamo a richieste di svolgimento integrale di esercizi postati senza una specifica domanda e senza riportare le proprie "tentate" soluzioni.

Prova a impostare una domanda specifica riportando la tua "tentata" soluzione ed evidenziando i problemi incontrati o i tuoi dubbi !!

Grazie.

Per prima cosa ho posto l'argomento dell'arcoseno compreso tra meno uno e uno e ho svolto le due funzioni. In seguito le ho messe a sistema e ho calcolato l'unione di queste...a me dà come risultato x<-1 però non sono certo di aver fatto bene. Per quanto riguarda invece lo studio del segno della funzione,cosa devo fare?Pongo l'argomento dell'arcoseno maggiore di zero?

Si !! ... la soluzione del sistema è $x \le - 1$ (compreso anche -1)! [EDIT] Correzione: $x \le - 2$ (compreso anche -2)!

Riguardo allo studio di segno basta porre:
\[f(x) = arcsen(1 + \frac{2}{x}) \ge 0\]
poichè sappiamo che per definizione l'arcoseno mangia numeri tra -1 e 1 (che sono i valori di seno) e restituisce angoli tra $- \frac{\pi }{2}$ e $\frac{\pi }{2}$ cioè:
\[ - \frac{\pi }{2} \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]
dobbiamo "obbligare" l'arcoseno a restituire angoli positivi o nulli cioè:
\[0 \le arcsen(1 + \frac{2}{x}) \le \frac{\pi }{2}\]
per fare questo basterà "pilotare" il suo argomento imponendogli i valori di seno che corrispondono (sulla circonferenza goniometrica) a quegli angoli, e cioè i valori di seno tra 0 e 1 compresi; dunque imponiamo che:
\[0 \le 1 + \frac{2}{x} \le 1\]
da cui risolvendo il solito sistema ...
\[\left\{ \begin{array}{l}
1 + \frac{2}{x} \le 1\\
1 + \frac{2}{x} \ge 0
\end{array} \right.\]
si ottengono i valori di x che corrispondono alla positività e annullamento della funzione; per esclusione di ricavano poi i valori della x per la negatività.

Saluti.

Grazie mille della risposta. Ho impostato la positività come hai detto tu e ho ottenuto x maggiore e uguale di zero, mentre come facciamo a trovare la negatività per esclusione visto che la devo dedurre da un grafico di unione e non da un semplice grafico dei segni? Quali sono i limiti della funzione?

No! ... una volta trovate le soluzioni del sistema quelle sono le x dove la funzione è positiva (visto che ti sei posto la domanda disequativa con il maggiore o uguale a zero). Dunque le soluzioni per esclusione (dove la funzione sarà negativa) sono quelle "complementari" a quelle trovate; cioè ad esempio se le soluzioni del sistema sono x>=0 allora le complementari sono x<0!

Saluti.

Si però per la positività ho imposto l'argomento dell'arcoseno compreso tra zero e uno e dunque poi ottengo un sistema.Sviluppando il sistema ho ovviamente l'unione e quindi non è un grafico dei segni o sbaglio?

NO!! ... Credo che tu abbia molte confusioni tra gli schemi dei segni e gli schemi di soluzione a intersezione che si fanno nei sistemi!! ... Si tratta di due "mondi" molto differenti!! ...

La causa dei tuoi dubbi è spesso dovuta ai discutibili metodi didattici di alcuni insegnanti delle scuole superiori che portano gli studenti a confondere gli schemi dei segni con le "domande" di segno a cui bisogna rispondere nelle disequazioni e poi gli schemi di riporto delle soluzioni a intersezione nei sistemi! ... Tutti e tre i "mondi" sono completamente differenti!!

Speriamo di poter fare definitivamente chiarezza su queste cose in futuri video-tutorials, nel frattempo ti consiglio, oltre a un buon libro, di guardare i molti video-tutorials disponibili sugli studi di funzione, dove, nelle fasi di studio di segno e di dominio, vengono passo-passo svolti tutti gli studi di segno ed anche gli schemi di intersezione dei sistemi!

Per quanto riguarda la tua funzione per lo studio della negatività della funzione puoi imporre:
\[ - \frac{\pi }{2} < arcsen(1 + \frac{2}{x}) < 0\]
e quindi:
\[ - 1 < 1 + \frac{2}{x} < 0\]
risolvendo poi il relativo sistema che ne deriva come sopra.

Tra l'altro, riguardando il risultato precedente dei calcoli relativi allo studio della positività, a me viene $x \le - 2$ e non (come ti avevo confermato nel mio post precedente che ho corretto in EDIT) $x \le - 1$ ... prova a ricontrollare i calcoli!

Saluti.

Ok ok grazie mille.Cmq sono riuscito a completare l'esercizio,prima avevo frainteso le tue parole e non avevo capito bene come effettuare la negatività, invece poi ho seguito il metodo da te citato nell'ultimo post e ci sono riuscito.Ho trovato l'errore anche del calcolo precedente.Per quanto riguarda gli studi di funzione,avevo dei dubbi prevalentemente sulle funzioni goniometriche inverse mentre sulle altre non ho problemi.Grazie ancora dell'aiuto!!!