Soluzione dello Studio di Continuità proposto:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\ln \left| x \right| + kx\;\;\;\;\;x < - e\;\; \vee \;\;x > 1\\
h{x^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; - e \le x \le 1
\end{array} \right.\]
I punti sospetti di continuità sono x=1 e x=-e; calcoliamo i limiti destro-sinistro e il valore della funzione nel punto per ciascuno di essi.
Per x=-e si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = - e\\
f( - e) = h{e^2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {e^ + }} h{x^2} = h{e^2}\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - {e^ - }} \ln \left| x \right| + kx = \ln \left| { - e} \right| + k( - e) = 1 - ke
\end{array} \right.\]
per cui :
\[continuita \;in\;{x_0} = - e\;\;\;\; \to \;\;\;h{e^2} = 1 - ke\]
Per x=1 si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = 1\\
f(1) = h\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h{x^2} = h\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \ln \left| x \right| + kx = \ln \left| 1 \right| + k(1) = k
\end{array} \right.\]
Quindi mettendo a sistema le due condizioni di continuità si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
h{e^2} = 1 - ke\\
h = k
\end{array} \right.\]
e risolvendo il sistema si ottiene:
\[\left\{ \begin{array}{l}
h{e^2} = 1 - ke\;\;\; \to \;\;\;k{e^2} = 1 - ke\;\;\; \to \;\;\;k{e^2} + ke = 1\;\;\; \to \;\;\;k({e^2} + e) = 1\;\;\; \to \;\;\;k = \frac{1}{{{e^2} + e}}\\
h = k
\end{array} \right.\]
Concludendo la funzione è continua in entrambi i punti sospetti (e quindi anche nei restanti punti del dominio dove lo era già) per i seguenti valori di h e k:
\[\left\{ \begin{array}{l}
k = \frac{1}{{{e^2} + e}}\\
h = \frac{1}{{{e^2} + e}}
\end{array} \right.\]
Saluti.
