Continuità e discontinuità di funzioni con parte intera

[KiraKaiji]

Buongiorno
Sono nuovo nel forum
Come faccio a studiare la continuità di queste funzioni in OGNI punto del loro dominio?
\[f(x)=(x-1)[x], f(x)=x-[x], f(x)=x[1+sinx]\]
Provando a fare il grafico pazientemente, ho notato che queste funzioni hanno una salto per x→∞ Ora, non posso fare il grafico di tutte (ci vuole un po' di tempo) e poi vedere i punti di discontinuità e fare il lim desto e sinistro e vedere che non coincidono. Non finirò mai più! per esempio: \[f(x)=[x]\] è una funzione che ha un salto per x∈Z. Come faccio a studiare la continuità di queste benedette funzioni? (Aaah 'sta parte intera!).
Non so se sia questa la sezione giusta, se non lo fosse chiedo scusa.

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
occorre premettere che lo studio di funzioni analitiche con parte intera si può fare solo in casi molto semplici e per funzioni con espressioni non troppo complesse, per le quali è possibile effettuare alcuni ragionamenti grafici-intuitivi piuttosto che procedimenti formali rigorosi di calcolo dei limiti. Si parte dalla definizione di parte intera di x e dal grafico delle eventuali funzioni elementari che dovessero comporre la funzione proposta...

ti sarà utile prima dare un'occhiata al seguente link per un ripasso della definizione di parte intera e per ricordare il grafico di $\left \lfloor x \right \rfloor$

Definizione di Parte Intera e proprietà

Sicuramente la funzione $\left \lfloor x \right \rfloor$ presenta le discontinuità di salto (1° specie) in corrispondenza dei valori interi di x a partire da ognuno dei quali si mantiene poi costante per un certo tratto fino al punto di valore intero successivo.
Da questo non dovrebbe essere difficile intuire per le altre funzioni dove sono i punti di discontinuità e i "tratti" continui... ma attenzione non necessariamente costanti!.... dipende dall'espressione matematica.

Formalmente in corrispondenza dei punti "sospetti" di discontinuità si potrebbe ad esempio fare il limite destro e sinistro lavorando nell'intorno e facendo attenzione ai diversi valori che assume la funzione a causa della presenza della parte intera nell'espressione della funzione stessa.
Non sarà quindi difficile rendersi conto che in corrispondenza di quei punti ci possono solo essere dei salti (finiti o infiniti a secondo dei casi) e quindi si potrà classificare il tipo di discontinuità. Per tutti gli altri punti la funzione resterà ovviamente continua fino al salto successivo e non serve fare studi particolari in quei tratti. Per le eventuali funzioni periodiche i salti si ripeteranno ad ogni periodo quindi basterà studiare la cosa nell'ambito di un solo periodo.

Non potendo ovviamente svolgere qui nel forum una trattazione completa dell'argomento spero di essere riuscito a darti una traccia di come procedere...

Saluti

NB: Si la sezione del forum era sbagliata!... l'argomento è stato spostato qui nella categoria "Studio Continuità e Discontinuità" e il titolo del topic è stato rinominato correttamente.

[KiraKaiji]

Non ho ben capito cosa devo fare per far vedere che queste funzioni sono discontinue in corrispondenza di valori interi
Prendiamo la funzione [x]. Ho capito che non devo verificare la discontinuità per tutti i valori interi in cui la funzione effettua un salto, ma allora come faccio a scrivere che la funzione è discontinua per x=1,x=2,x=3 ecc? Come faccio a metterlo giù sulla carta? E' questo il mio dilemma.
Per verificare l'eventuale discontinuità in un punto, dovrei fare il lim destro e sinistro in quel punto (Nel caso della funzione [x] dovrei fare il lim per x→1,per x→2,per x→3 ecc). La mia domanda è " come faccio a raggrupparli tutti in un unico limite per poter dire, poi, che la funzione è discontinua per x∈Z? o non si può fare questa cosa? se non si può fare, mi dica per favore i passaggi che devo seguire senza che Lei li espliciti

[maurizio.schirinzi]

Consideriamo come esempio la funzione:
\[f(x) = \left\lfloor {{x^2}} \right\rfloor \]
La funzione considerata per quanto abbiamo già detto ha un'infinità numerabile di punti di discontinuità di prima specie (salto finito).
Consideriamo il generico di questi punti e lo indichiamo con n (numero intero).

Calcoliamo il limite destro e sinistro verso questo generico punto...

per il limite destro si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {n^ + }} \left\lfloor {{x^2}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{({n^ + })}^2}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{({n^2})}^ + }} \right\rfloor = {n^2}\]
si noti che la parte intera di "poco più di ${n^2}$" (numero non intero) restituisce ${n^2}$

per il limite sinistro si ha:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {n^ - }} \left\lfloor {{x^2}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{({n^ - })}^2}} \right\rfloor = \left\lfloor {{{({n^2})}^ - }} \right\rfloor = {n^2} - 1\]
si noti che la parte intera di "poco meno di ${n^2}$" (numero non intero) restituisce il numero intero precedente (che si ottiene sottraendo 1)!!

pertanto essendo i due limiti finiti e diversi si ha una discontinuità di prima specie (salto finito) per ogni n intero.

Spero di essere riuscito a darti un metodo formale per procedere con gli altri esempi che avevi postato...

saluti

[KiraKaiji]

Non mi convince ancora ho provato a fare il grafico di \[[x^2]\] Ho fatto il grafico e ho notato che c'è un punto di discontinuità in x=1,41 più o meno (tra l'altro non riesco trovarlo in modo preciso, usando addirittura la calcolatrice!).
Un'altra cosa: come faccio a scrivere le formule con Equation Editor in linea con il resto? Mi appaiono le formule sempre scritte in una riga a sè come in questo caso.
Grazie di tutto

[maurizio.schirinzi]

Il punto che hai trovato in 1,414... è il punto $\sqrt 2 $ che è un'altro degli infiniti punti del tipo $ \pm \sqrt n $ che sono punti che elevati al quadrato danno un numero intero e pertanto occorre considerare anche tutti quei punti in aggiunta a quelli solo interi di x.
Occorre in sostanza studiare la discontinuità non solo per tutti i valori interi di x ma anche per quelli calcolati di ${x^2}$ e quindi per tutte le radici di numeri interi!

E' questo infatti uno dei motivi per cui lo studio delle funzioni con parte intera può risultare molto complicato se non ci si limita a funzioni con espressioni algebriche molto semplici e/o facilmente "intuibili"...

Le istruzioni per scrivere le formule in linea con il testo sono indicate subito sotto all'equation editor!

Saluti