Dubbio sulla derivabilità in un punto

[piero87]

Ciao a tutti.
Ho un problema con lo studio di una funzione, in particolare nel calcolarmi la derivabilità in un punto.

la funzione è la seguente \[f(x) = \sqrt[3]{{x\cdot{e^{3x}}}}\]

1) mi calcolo il dominio: Tutto R
2) Studio la continuità: la funzione è continua su tutto R
3) Studio il segno della funzione:
x>0
\[e^{3x}>0\]

facendo i calcoli ottengo che la f(x) è positiva per le \[x\geq 0\] (in 0 si azzera)
e negativa per le x<0
4) intersezione con gli assi:
asse x=0
asse Y=1

5) Calcolo asintoti.
-Asintoti verticali: nessuno
-Asintoto orizzontale: esiste solo per -infinito e vale 0.
-asintoto obbliquo: nessuno

6) calcolo la derivata prima.

\[\frac{e^{3x}(1+3x)}{\sqrt[3]{(xe^{3x})^2}}\]

7) studio il segno della derivata prima.

\[e^{3x}>0\]
\[1+3x>0\]
\[\sqrt[3]{(xe^{3x})^2}>0\]

risolvendo e facendo lo schema ottengo:
\[ - \infty \le x \le - \frac{1}{3}\] la f'(x) è negativa [in -1/3 la f'(x) si azzera]

\[-\frac{1}{3}\leq x\leq 0\] la f'(x) è positiva e[in 0 la f'(x) si azzera]

per x>0 la f'(x) è positiva.

Ricapitolando possiamo notare che in -1/3 abbiamo un punto di minimo.

in 0 abbiamo un punto sospetto.
Devo fare il limite del rapporto incrementale ?
Posso anche utilizzare il teorema di sufficiente derivabilità? (se si devo fare il limite destro e sinistro della derivata?)

[maurizio.schirinzi]

Ciao, SI!! ... il punto x=0 è un punto sospetto di derivabilità (la funzione esiste ma sembra non esistere l'espressione della derivata prima).

Per analizzare di che tipo di punto di non derivabilità si tratta (angoloso, cuspide, flesso a tg. verticale) e per disegnare correttamente la funzione nel suo intorno occorre calcolare il limite del rapporto incrementale o meglio applicare il Teorema Criterio di Sufficiente Derivabilità (dato che sono soddisfatte le sue ipotesi - funzione continua nel punto e derivabile nell'intorno).

Risulterà quindi:
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{{e^{3x}}(1 + 3x)}}{{\sqrt[3]{{{{(x{e^{3x}})}^2}}}}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty \\
{f_ - }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{{e^{3x}}(1 + 3x)}}{{\sqrt[3]{{{{(x{e^{3x}})}^2}}}}} = \frac{1}{{{0^ + }}} = + \infty
\end{array} \right.\]
dunque, essendo i due limiti entrambi +infinito, il punto x=0 è un punto di non derivabilità di tipo flesso a tangente verticale!

Saluti.

[piero87]

grazie mille.
Ora è tutto più chiaro:)

Ps: sono disponibili dei video tutorial per analisi 2? (anche a pagamento)?
la ringrazio
Piero

[maurizio.schirinzi]

Ciao, purtroppo non abbiamo ancora prodotto nessun video-tutorials di Analisi 2 e non sono al momento disponibili video-tutorials a pagamento!

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