Derivabilità nel proprio dominio

[Emilio86]

Salve, sono ancora io, il vostro più assiduo ascoltatore!
Oggi sono stato a ricevimento dalla prof, e siccome mi ha anticipato che nella prossima traccia d'esame, oltre alla teoria e allo studio di funzione, metterà anche l'analisi della derivabilità di alcune funzioni mi tocca cominciare a chiarirmi un pò le idee sull'argomento.
Innanzitutto ho visto già molti video tutorial sull'argomento, ed ho capito in sintesi che lo strumento che mi permette di fare ciò è lo studio del limite del rapporto incrementale, e infatti me lo ha confermato anche la prof, cn alcune sottili differenze...
prima di tutto la forma risolutiva da lei adottata è scritta in maniera diversa, ma penso sia la stessa n quanto ho fatto un paio di prove e cn i risultati mi trovo, e cioè, lei mi ha scritto che si ottiene così:
\[\lim_{x\to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})}\]
...penso sia lo stesso dei video tutorial ma volevo giusto la conferma!:)
e la seconda cosa riguarda il teorema creiterio di sufficiente derivabilità.... La prof mi ha detto che con esso ci si riconduce solo ad uno studio della continuità della funzione, e che l'UNICO metodo che mi garantisce lo studio della derivabilità della funzione è solo il limite del rapporto incrementale... è così??
perchè io dai video tutorial avevo capito che più semplicemente si poteva risolvere con quel criterio di suff deriv; a condizione che la funzione sia continua in quel punto, che il suo intorno sia derivabile e che tale limite della funz derivata in quel punto esistesse...

[maurizio.schirinzi]

Ciao, il limite del rapporto incrementale scritto nella forma
\[\lim_{x\to x_{0}} \frac{f(x)-f(x_{0})}{(x-x_{0})}\]
e' equivalente al limite del rapporto incrementale scritto nella forma classica con la variabile h che tende a zero...
si tratta solo di una seconda "veste" della stessa formula....
\[\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x_{0})}{h}\]
riguardo al teorema criterio di sufficiente derivabilità, come dice il nome stesso del teorema, esso esprime una condizione sufficiente per la derivabilità della funzione in un punto a patto che siano verificate le ipotesi del teorema e prima tra tutte la continuità della funzione nel punto dove si studia la derivabilità...

purtroppo questo criterio è poco conosciuto e/o poco usato da alcuni insegnanti che lo ignorano completamente nella trattazione di alcuni programmi, sicuramente in quelli di scuola superiore ma spesso anche in quelli di livello universitario!!... quindi non preoccuparti della risposta contraddittoria della tua insegnante... a mio parere sbagliata!!... usa tranquillamente il criterio verificando sempre le ipotesi e non commetterai errore... con una piccola ricerca su internet potrai verificare quanto detto su tale criterio... saluti

[Emilio86]

salve!
dovrei calcolare al derivabilità nel proprio dominio della funzione:
\[f(x)= \left | \frac{2-x}{2+x} \right |^x\]

Per come procedo di solito io per sapere se ci sono punti sospetti di non derivabilità nella funzione, nel caso di funzioni (come in questo caso) con valore assoluto, basta azzerare l'argomento dello stesso, e le soluzioni che ci escono sono punti sospetti da andare ad analizzare con il limite del rapporto incrementale!..dunque il possibile punto sospetto è chiaramente x=2

a questo punto facendo il limite mi esce una forma 0/0 da risolvere cn l'Hopital per esempio. Quindi faccio la derivata del num e del den e mi esce che per x tendente a 2 meno esce 0, e ok!...per il limite tendente a 2 più ad un certo punto si trova un ln(0meno) che ovviamente non esiste, quindi non esiste il limite...è possibile??mi chiedo...dunque non ha punti di non derivabilità questa funzione??

[maurizio.schirinzi]

Una funzione per essere derivabile (per definizione) deve avere il limite del rapporto incrementale destro e sinistro (o gli equivalenti limiti del teorema criterio di sufficiente derivabilità quando possibile) che devono essere entrambi uguali ad uno stesso valore finito!

Pertanto in qualsiasi altra situazione diversa da questa e quindi con limiti destro e/o sinistro infiniti o che non esistono (anche solo uno) siamo in presenza di un punto di NON derivabilità, che potrà essere classificato come (angoloso, cuspide, flesso a tangente verticale o pendenza indeterminata-oscillante) asseconda dei risultati dei limiti suddetti.

I punti fuori dominio sono ovviamente sempre punti di non derivabilità poichè in quei punti la funzione non esiste e pertanto sarebbe impossibile anche solo scrivere il limite del rapporto incrementale che richiede l'esistenza della funzione nel punto stesso (il limite non esisterebbe comunque).

Pertanto nel tuo caso, se i risultati che hai fornito sono giusti (non li ho verificati!), avrai una derivabilità solo sinistra che vale zero, e una NON derivabilità destra con limite che non esiste e quindi con pendenza destra indeterminata!
In conclusione è ovvia la NON derivabilità completa nel punto x=2.

Saluti

[Emilio86]

ok, grazie!:)..
ma quello che mi chiedevo io, in questo caso, che la funzione si presenta in valore assoluto, al posto di andare a calcolare il dominio dela funzione e della derivata (che risulterebbe un pò lungo avendo a che fare con due casi di funzione), posso dedurre già i miei punti sospetti azzerando proprio il valore assoluto??...la prof mi dice che in caso di valore assoluto o di una F(x)^p/q, con p/q compreso tra zero e uno (ovvero tutte le funzioni irrazionali) posso dedurre i punti sospetti solamente azzerando la F(x)...
IO PERO' A QUESTO PUNTO NON CAPISCO IL PERCHE' DI QUESTA COSA!...sapreste spiegarmelo??...

[maurizio.schirinzi]

I punti di separazione del valore assoluto (di cambio di segno) sono sempre punti sospetti di derivabilità, ma per confermare o smentire la derivabilità occorre sempre fare lo studio con il limite del rapporto incrementale o con il criterio di sufficiente derivabilità (e quindi con il calcolo effettivo delle derivate nell'intorno) a cavallo di ciascun punto.
Il semplice azzeramento del valore assoluto (e quindi di azzeramento del suo contenuto e della funzione) non è condizione sufficiente per confermare i punti di NON derivabilità.
Ad esempio la funzione \[f(x)=| x^3-4x^2+5x-2|=|(x-1)^2(x-2)|\] ha 2 zeri (punti di azzeramento del valore assoluto) in x=1 e x=2 entrambi punti sospetti di derivabilità ma facendo lo studio per entrambi solo x=2 è un punto di NON derivabilità (angoloso) mentre in x=1 la funzione risulta derivabile!!

Pertanto non capisco le argomentazioni della tua prof. ammesso di aver interpretato bene quanto da lei affermato e/o da te qui riportato!!

saluti

[Emilio86]

Si, no è esattamente questo che diceva la prof, cioè azzerando il contenuto del valore assoluto ottengo i punti sospetti che vanno poi confermati facendo il limite del rapporto incrementale!:)...è solo una mia difficoltà capire il perchè basta analizzare soltanto i punti dove vi è cambio di segno...
Inoltre la mia prof come già detto prima dice che lo stesso procedimento si può fare per funzioni irrazionali, ovvero della forma f(x)= g(x)^p/q con p/q compreso tra 0 ed uno!
Vabbè, chiuso questo discorso vorrei proporre un'altra mia difficoltà...Lo scopo è lo stesso, verificare se ci sono punti di non derivabilità in questa funzione:
\[f(x)=\frac{sin(x-1)+tan(x+1)}{x^3+1}\]
a questo punto ovviamente ricavo il dominio di questa funzione, ed ho una difficoltà che non riesco a superare, ovvero:
chiaramente verifico in primis l'esistenza azzerando il denominatore, da cui risulta che è valido per tutto R meno il punto -1
Il sin(x-1) non mi da nessun problema
La tan (x+1) invece secondo le condizioni di esistenza deve presentare l'argomento diverso da \[\pi /2 + k\pi \] dunque mi verrebbe:
\[(x+1)\neq \pi /2 +k\pi \]
ovvero \[x\neq \pi /2-1\] ????
cioè, non capisco come a questo punto viene il dominio, perchè non posso mischiare numeri radianti con numeri "normali" che mi vengono dalla prima condizione...perchè sarebbe come se mi venisse per x diverso da 89 gradi, ma non capisco..sono sicuro che non è così ma non so la soluzione esatta!!

[maurizio.schirinzi]

I punti di separazione di segno del valore assoluto sono punti sospetti di derivabilità proprio perchè cambiando il segno algebrico della funzione quando si apre il valore assoluto nei suoi casi, scrivendo la funzione per casi o a tratti, le due diverse funzioni che ne risultano (per segno) fanno pensare che, facendo il limite del rapporto incrementale destro e sinistro a cavallo del punto (per studiare la derivabilità), questi due limiti possano dare due risultati diversi anche solo per un segno... ecco perchè si parla di "punti sospetti".

Per quanto riguarda la nuova domanda i radianti sono proprio "numeri normali" cioè "numeri puri adimensionali" (a differenza dei gradi) e possono tranquillamente essere "mescolati" con i numeri reali della variabile x (non sarebbe cosi per i gradi). Il sistema di misura dei radianti è stato inventato apposta per evitare di dover mescolare i gradi con i numeri reali della variabile x. Infatti la definizione di radiante e il rapporto tra la lunghezza dell'arco di circonferenza sotteso dall'angolo e la misura del raggio; questo produce un numero puro adimensionale!...
La presenza di $\pi $ non deve ingannare essendo un numero irrazionale puro 3,14xxx...
Resta l'ovvia scomodità di gestire algebricamente i punti del tipo $x=\pi /2-1$ ed è per questo che spesso gli esercizi vengono scritti ad esempio cosi:
\[f(x)=\frac{sin(x-\pi/3)+tan(x+\pi/4)}{x^3+1}\]
piuttosto che come quello da te indicato senza la presenza del $\pi$ negli argomenti delle funzioni goniometriche.

saluti

[Emilio86]

scusami ma purtroppo non mi è chiaro come risulterebbe poi il procedimento per il calcolo del dominio e sopratutto se la forma con cui hai scritto la funzione è una forma equivalente a quella scritta da me...

[maurizio.schirinzi]

L'esempio è chiaramente un'altra funzione completamente diversa!! ...
... serviva per piegare che la presenza del $\pi $ negli argomenti delle funzioni goniometriche è più comoda algebricamente rispetto agli argomenti della tua funzione!

Il calcolo del dominio che avevi postato per la tua funzione è corretto: $x\neq \frac{\pi}{2}-1+k\pi$ e $x\neq -1$.

Purtroppo nel tuo caso devi gestire questi valori nel calcolo dei limiti e nello studio della derivabilità.

saluti