Ciao, l'unico punto di non derivabilità è x=0 dove la funzione è comunque continua:
\[f(x) = \frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{\left| x \right| + 2}}\; = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{ - x + 2}}\;\;\;\;\;\;\;\;x \le 0\\
\frac{{{x^2} + 3x - 4}}{{x + 2}}\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\]
\[f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{ - {x^2} + 4x + 2}}{{{{( - x + 2)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
\not \exists \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x = 0\\
\frac{{{x^2} + 4x + 10}}{{{{(x + 2)}^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\]
x=2 e x=-2 non sono punti di non derivabilità perchè anche se annullano il denominatore delle corrispondenti espressioni della derivata lo fanno per valori della x "fuori zona" di validità della rispettiva "zona di validità" della derivata stessa!!
Nel punto x=0 si ha un punto di non derivabilità di tipo angoloso con pendenze di derivabilità destra e sinistra separate rispettivamente: \[{f_ - }'\;(0) = \frac{1}{2}\;\;\;\;{f_ + }'\;(0) = \frac{5}{2}\]
Per comprendere bene il procedimento di studio di simili funzioni ti consiglio di guardare alcuni dei moltissimi video-tutorials di esercizi relativi allo studio completo di funzioni con valore assoluto e allo studio della derivabilità disponibili ai seguenti indirizzi:
Studio di Funzioni >> Studio Derivabilità e Continuità >> Funzioni VarieStudio di Funzioni >> Studio COMPLETO >> Funzioni con Valori AssolutiSaluti
