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Gentile Prof Schirinzi, ho trovato questa funzione:
\[f(x) = \left\{\begin{matrix} e^{bx +a^{2} }.......x\leq 0\\ x + b(sinx +1)....... x> 0 \end{matrix}\right.\]
chiede per quali valori di a e b la funzione è derivabile in Xo = 0.
grazie.

Ciao, dovresti innanzi tutto riportare almeno una traccia della tua "tentata" soluzione precisando tutti i tuoi dubbi!

Purtroppo, come da regolamento del Forum, non possiamo rispondere a post che richiedono lo studio e svolgimento integrale di esercizi, ma rispondiamo solo a domande particolari su particolari questioni o dubbi!

Nel caso tu non sappia neanche come partire con questo tipo di esercizi, ti consiglio prima di guardare i moltissimi e dettagliati video-tutorials disponibili nel sito sull'argomento "Studio della Derivabilità e Continuità".

Saluti.


PS: Poichè questo topic è relativo allo Studio della Derivabilità e Continuità lo User Admin provvederà a spostarlo nella categoria più appropriata.

non so se proseguire in questo post, ma comunque...: prima ho cercato per quali valori la funzione è continua imponendo il limite da sinistra = al limite da destra = f(0) ed ottengo\[e^{a^{2}} = b\Rightarrow a^{2}=lnb\]
adesso (ed è la cosa che vorrei mi si chiarisse) ho sostituito:
\[e^{bx+a^{2}}=e^{bx+lnb}=e^{bx}e^{lnb}=e^{bx}b\]
facendo ora la derivata della mia originale ottengo:
\[{f}'(x)=\left\{\begin{matrix} e^{bx}b^{2}...x\leq 0\\ 1+bcosx ...x> 0\end{matrix}\right.\]
ora procedo ancora imponendo il limite a destra = limite a sinistra = f'(0)
ottenendo \[b^{2}=1 \Rightarrow b=1\]
tralasciando il valore b=-1 in quanto il valore b era l'argomento di un logaritmo
poi sostituendo ancora trovo a=0
mah!

Mi pare che ci sia un grave errore nel tuo procedimento. Ecco lo svolgimento corretto:
\[f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{bx + {a^2}}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \le 0\\
x + b(sen(x) + 1)\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\]
Studiando la continuità nel punto x=0 si ha:
\[\begin{array}{l}
{x_0} = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
f(0) = {e^{{a^2}}}\\
\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} [x + b(sen(x) + 1)] = b\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {e^{bx + {a^2}}} = {e^{{a^2}}}
\end{array} \right.
\end{array}\]
dunque la condizione di continuità nel punto x=0 sarà:
\[{e^{{a^2}}} = b\]

Studiando la derivabilità in x=0 con il Teorema Criterio di Sufficiente Derivabilità si ha:
\[\begin{array}{l}
f'(x) = \left\{ \begin{array}{l}
{e^{bx + {a^2}}}b\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\\
1 + b\cos (x)\;\;\;\;\;x > 0
\end{array} \right.\\
{f_ - }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f'(x) = {e^{bx + {a^2}}}b = {e^{{a^2}}}b\\
{f_ + }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f'(x) = 1 + b\cos (x) = 1 + b
\end{array}\]
dunque la condizione di derivabilità in x=0 sarà:
\[{e^{{a^2}}}b = 1 + b\]

Mettendo a sistema le 2 condizioni si ha:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{e^{{a^2}}} = b\;\;\; \to \;\;\;{a^2} = \ln (b)\;\;\; \to \;\;\;a = \pm \sqrt {\ln (b)} \;\;\; \to \;\;\;a = \pm \sqrt {\ln (\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2})} \\
{e^{{a^2}}}b = 1 + b\;\;\; \to \;\;\;{b^2} - b - 1 = 0\;\;\; \to \;\;\;b = \frac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\;\;\; \to \;\;\;b = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}
\end{array} \right.\]

Saluti.

ne ero certo!!!
vado subito a vedermi il video tutorial sul criterio di sufficiente derivabilità!!!
grazie Prof!!