www.easymath.it

Buonasera!! Sto cercando di risolvere lo studio dell'asintoto orizzontale della funzione \[e^{x}\cdot \left ( e^{x} - 1\right )\] . Se faccio il limite
che tende a infinito dovrei avere come soluzione (come dice il libro) 0 perciò da avere come risultato un asinto y=0. Qualcuno potrebbe spiegarmi il motivo? Non riesco a sviluppare il limite. Grazie mille in anticipo

Ciao, il calcolo del limite per x che tende a infinito va disaccoppiato per x che tende a +infinito rispetto a quello per x che tende a -infinito a causa del diverso comportamento della funzione esponenziale nei due casi. Ecco lo svolgimento:
\[f(x) = {e^x}({e^x} - 1)\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } {e^x}({e^x} - 1) = \left\{ \begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {e^x}({e^x} - 1) = {e^{ + \infty }}({e^{ + \infty }} - 1) = + \infty ( + \infty ) = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {e^x}({e^x} - 1) = {e^{ - \infty }}({e^{ - \infty }} - 1) = \frac{1}{{{e^{ + \infty }}}}(\frac{1}{{{e^{ + \infty }}}} - 1) = \frac{1}{{ + \infty }}(\frac{1}{{ + \infty }} - 1) = 0 \cdot (0 - 1) = 0 \cdot ( - 1) = 0
\end{array} \right.\]
Da cui si deduce dunque l'esistenza dell'unico asintoto orizzontale di equazione y=0 solo per x che tende a -infinito !!

Saluti.