Ciao Martina, non è chiaro cos'è A>0 ... forse volevi scrivere x>0? ... comunque lo studio della derivabilità prima e seconda di questa funzione è il seguente, aprendo la funzione per i due casi del valore assoluto:
\[f(x) = 120{x^2}{e^{ - \left| x \right|}} - 1 = \left\{ \begin{array}{l}
120{x^2}{e^{ - x}} - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x \ge 0\\
120{x^2}{e^x} - 1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x < 0\;
\end{array} \right.\] \[{D_f} = R\]
Si noti che la funzione è continua anche in x=0 ... basta fare i limiti destro-sinistro per x-->0 e f(0)
Studio della derivabilità prima:
\[\left[ \begin{array}{l}
x > 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(x) = 240x{e^{ - x}} + 120{x^2}{e^{ - x}}( - 1) = - 120{e^{ - x}}({x^2} - 2x)\\
x < 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(x) = 240x{e^x} + 120{x^2}{e^x} = 120{e^x}({x^2} + 2x)\\
x = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f'(0) = ?
\end{array} \right.\]
poichè la funzione è continua in x=0 possiamo applicare il criterio di sufficiente derivabilità per studiare la derivabilità in x=0
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} - 120{e^{ - x}}({x^2} - 2x) = 0\\
{f_ - }'(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 120{e^x}({x^2} + 2x) = 0
\end{array} \right.\] dunque è derivabile e \[f'(0) = 0\]
a questo punto basta studiare i segni della derivata prima nelle rispettive zone delle x (compreso x=0) e unire tutto in un'unico schema di segno per dedurre le informazioni sulla crescenza e decrescenza.
Analogamente studiamo per casi la derivabilità seconda:
\[\left[ \begin{array}{l}
x > 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f''(x) = - 120\{ - {e^{ - x}}({x^2} - 2x) + {e^{ - x}}(2x - 2)\} = 120{e^{ - x}}({x^2} - 4x + 2)\\
x < 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f''(x) = 120\{ - {e^{ - x}}({x^2} - 2x) + {e^{ - x}}(2x - 2)\} = 120{e^x}({x^2} + 4x + 2)\\
x = 0\;\;\;\;\; \to \;\;\;\;\;f''(0) = ?
\end{array} \right.\]
ed essendo anche la derivata prima continua in x=0 (basta fare i soliti limiti) applichiamo ancora il criterio di sufficiente derivabilità e otteniamo:
\[\left[ \begin{array}{l}
{f_ + }''(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} 120{e^{ - x}}({x^2} - 4x + 2) = 2\\
{f_ - }''(0) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} 120{e^x}({x^2} + 4x + 2) = 2
\end{array} \right.\] dunque è derivabile anche la seconda volta in x=0 e \[f''(0) = 2\]
[EDIT] Errore: $f''(0) = 240$ !! ... vedi post successivo!a questo punto basta studiare i segni della derivata seconda nelle rispettive zone delle x (compreso x=0) e unire tutto in un'unico schema di segno per dedurre le informazioni sulla concavità-convessità e flessi.
Consiglio ancora di seguire video-tutorials sullo studio completo di funzioni con valore assoluto per acquisire bene le tecniche di studio della derivabilità per funzioni aperte a tratti!
Saluti.
PS: Il topic verrà spostato dallo User Admin in una sezione del forum più appropriata sullo "Studio Crescenza-Decrescenza (Monotonia)".
, anche perchè non saprei calcolare la derivata seconda!
, e cioè: quel 2 in parentesi non deve essere moltiplicato con il valore fuori dalla parentesi, cioè così come ho fatto???? 