Trovare un intervallo di decrescenza

[piero87]

Ciao a tutti
Mi aiutate con questo esercizio?

Trovare un intervallo di decrescenza di \[ h(x)=\sqrt[3]{{ln|x|}^{2}} \]

per prima cosa vedo che la funzione è definita su tutto l'asse reale ad eccezione dello zero.

per calcolarmi ora la crescenza devo fare la derivata prima ?

- apriamo il contenuto del valore assoluto :

x>0 \[h(x)=\sqrt[3]{{lnx}^{2}}\]

x<0 \[h(x)=\sqrt[3]{{ln(-x)}^{2}}\]

faccio la derivata prima per x>0

\[ \frac{1}{3\sqrt[3]{(ln(x)^2)^2}}2ln(x)\frac{1}{x}=\]

\[ \frac{2ln(x)}{3x\sqrt[3]{(ln(x)^2)^2}}=\]

Mi potete dire se il procedimento per la crescenza è giusto e dove sbaglio nel risolvere la derivata ?
grazie mile

[maurizio.schirinzi]

La funzione come l'hai scritta, senza le parentesi sull'argomento del logaritmo, è un po ambigua!! ... che cos'è che è elevato al quadrato dentro alla radice?? ... tutto il logaritmo o solo il suo argomento??

In quest'ultimo caso la funzione sarà cosi:
\[f(x) = \sqrt[3]{{ln(|x{|^2})}} = \sqrt[3]{{\ln ({x^2})}}\;\;\;\;\;x \ne 0\]
e il valore assoluto non serve aprirlo perchè viene "assorbito" dal quadrato dunque sarà sufficiente derivare normalmente:
\[f'(x) = \frac{1}{{3\;\sqrt[3]{{{{\ln }^2}({x^2})}}}}\frac{1}{{{x^2}}}2x = \frac{2}{{3x\;\sqrt[3]{{{{\ln }^2}({x^2})}}}}\;\;\;\;\;x \ne 0\; \wedge \;x \ne 1\]

Anche se tutti i libri di testo e il 99% dei prof. non mette le parentesi sugli argomenti delle funzioni elementari (scrivendo lnx senx cosx ecc...) questa tecnica didattica è molto discutibile perchè porta gli studenti a varie confusioni, specialmente nel calcolo delle derivate oltre che nei calcoli algebrici!

Ti consiglio di mettere sempre le parentesi sugli argomenti di tutte le funzioni elementari: ln(x), sen(x), cos(x) ecc... come fanno rigorosamente tutti gli ingegneri e i programmatori di computer, in rispetto d'altra parte degli "standard" linguistici di programmazione!

Saluti.

[piero87]

grazie per l'osservazione, d'ora in poi cercherò di mettere tutte le parentesi, non solo per chiarezza verso chi legge, ma anche per non andare a "incepparmi" con i calcoli.

tornando alla derivata, la mia derivata è : \[\sqrt[3]{(ln|x|)^2}\] come devo procedere ? dove ho sbagliato prima ?

[maurizio.schirinzi]

Forse volevi dire "la mia funzione è" e NON "la mia derivata è" !! ...
in tal caso si ha:
\[f(x) = \sqrt[3]{{(ln{{(|x|)}^2}}}\]
che quindi è meglio riscrivere (sempre per maggiore chiarezza convenzionale-estetica) cosi:
\[f(x) = \sqrt[3]{{l{n^2}(|x|)}}\]
allora la derivata sarà:
\[f'(x) = \frac{1}{{3\;\sqrt[3]{{{{\ln }^4}(|x|)}}}}2\ln (|x|)\frac{1}{x} = \frac{{2\ln (|x|)}}{{3x\;\sqrt[3]{{{{\ln }^4}(|x|)}}}} = \]
\[ = \frac{{2\ln (|x|)}}{{3x\;\ln (|x|)\;\sqrt[3]{{\ln (|x|)}}}} = \frac{2}{{3x\;\sqrt[3]{{\ln (|x|)}}}}\]

Saluti.

[piero87]

grazie mille la parte che non mi tornava era proprio quella di portare "fuori" il logaritmo dalla radice cubica.

Quindi per lo studio della decrescenza essendo il logaritmo elevato al quadrato non ho bisogno di aprire il contenuto del valore assoluto?

Posso studiare il segno della derivata prima così come hai risolto tu senza aprire il contenuto del valore assoluto?

[maurizio.schirinzi]

No !! ... Attenzione! ... con la funzione che ho scritto prima (quella con il quadrato sul valore assoluto dell'argomento del logaritmo) il valore assoluto è inutile perchè viene assorbito dal quadrato.

Nell'altro caso invece vale la proprietà di derivazione del logaritmo quando l'argomento è in valore assoluto:
\[D[\ln (|x|)] = \frac{1}{x}\]
quindi puoi calcolare la derivata come ho fatto io nel precedente post e senza aprire il valore assoluto nella derivazione! ... sono due cose molto diverse!

Saluti.

[piero87]

allora la derivata sarà:
\[f'(x) = \frac{1}{{3\;\sqrt[3]{{{{\ln }^4}(|x|)}}}}2\ln (|x|)\frac{1}{x} = \frac{{2\ln (|x|)}}{{3x\;\sqrt[3]{{{{\ln }^4}(|x|)}}}} = \]

Scusi la seconda parte della derivata dove \[2ln(|x|)\frac{1}{x} \] non è la derivata del logaritmo? oppure sta derivando il valore assoluto?
Mi sono incartato un pò

[maurizio.schirinzi]

E' la derivata del logaritmo al quadrato con dentro il valore assoluto di x! ... cioè la derivata della funzione composta dove la funzione più esterna è l'elevamento al quadrato che poi va moltiplicato per la derivata del logaritmo ...

[piero87]

ok quindi ho fatto la derivata senza considerare il valore assoluto?

[maurizio.schirinzi]

Come ho detto nel post precedente quando il valore assoluto è nell'argomento del logaritmo (e solo lì) si può derivare in quel modo ... in tutti gli altri casi occorre aprire il valore assoluto!

Prova ad aprire i casi nel calcolo della seguente derivata e ti accorgerai che viene sempre uguale per entrambi i casi:
\[D[\ln (|x|)] = \frac{1}{x}\]
Saluti

[piero87]

a ok ora ho capito

vale la stessa regola se mi trovo nella situazione \[ln(|x-2|)\]

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... in generale vale la seguente regola, ma solo con il logaritmo:
\[D[\ln (|g(x)|)] = \frac{1}{{g(x)}}g'(x)\]

[piero87]

perfetto
grazie mille