Derivata prima con eventuali massimi e minimi

[giuliasorgente93]

Salve vorrei sapere gentilmente la derivata prima di questa funzione con gli eventuali massimi e minimi:
\[x((2lnx+1)/(lnx))\]
Anche perché mi blocco all'ultimo passaggio e non riesco ad andare avanti
Cordiali saluti

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[f(x) = x \cdot (\frac{{2\ln (x) + 1}}{{\ln (x)}})\]
Ecco i passaggi del calcolo della derivata prima:
\[f'(x) = 1 \cdot \frac{{2\ln (x) + 1}}{{\ln (x)}} + x \cdot \frac{{2\frac{1}{x}\ln (x) - (2\ln (x) + 1)\frac{1}{x}}}{{{{\ln }^2}(x)}} = \]
\[ = \frac{{2\ln (x) + 1}}{{\ln (x)}} + x \cdot \frac{1}{x}\frac{{2\ln (x) - 2\ln (x) - 1}}{{{{\ln }^2}(x)}} = \]
\[ = \frac{{2\ln (x) + 1}}{{\ln (x)}} + \frac{{ - 1}}{{{{\ln }^2}(x)}} = \frac{{(2\ln (x) + 1)\ln (x) - 1}}{{{{\ln }^2}(x)}} = \]
\[ = \frac{{2{{\ln }^2}(x) + \ln (x) - 1}}{{{{\ln }^2}(x)}}\]
A questo punto basterà studiare il segno della derivata per trovare i max e minimi; in questo caso essendoci il ln(x) comune in tutta l'espressione basterà porre ln(x)=t e studiare la derivata tutta in t per poi riportare i dati in x (come si fa con le classiche tecniche di studio delle disequazioni logaritmiche mediante la sostituzione):
\[f'(x) = \frac{{2{{\ln }^2}(x) + \ln (x) - 1}}{{{{\ln }^2}(x)}} = \frac{{2{t^2} + t - 1}}{{{t^2}}} \ge 0\]
Saluti.