Ricerca massimi e minimi assoluti della funzione

[gloria]

Devo trovare massimi e minimi asssoluti della funzione \[y=|\log \left ( x+1 \right )| -x\]
Nell *intervallo gia dato [-1/2; 1/2] x) grazie

[maurizio.schirinzi]

Per trovare i massimi e minimi assoluti della funzione occorre prima trovare i max e minimi relativi eventuali derivando la funzione con le tecniche di derivazione per funzioni con valori assoluti (ad esempio aprendo la funzione per casi); a tale proposito si consiglia di guardare i video-tutorials sullo studio delle funzioni con valore assoluto.

Una volta trovati i punti di max e minimo relativo che sono all'interno dell'intervallo dato (scartando quelli fuori) occorre valutare le quote (y) della funzione in corrispondenza di tali punti e confrontarle sia tra loro che con le quote della funzione in corrispondenza degli estremi dell'intervallo dato.

Dopo tutti questi confronti il più alto valore della funzione sull'asse y sarà il max assoluto e il più basso valore della funzione sull'asse y sarà il minimo assoluto!

Saluti.

[gloria]

Guardi per favore il mio ragionamento e mi dica dove sbaglio dato che qui andavo ad applicare il teorema di weierstrass ho pensato che la prima cosa da fare fosse verificare la continuità nell*intervallo dato...perche la continuita nell*intervallo era l*ipotesi x la validità del teorema. Quindi ho prima aperto il valore assoluto cosi \[Y=|\log (x+1)|-x \left\{\begin{matrix} log (x+1)-x & & \\ -log (x+1)-x & & \end{matrix}\right.\] (la prima riga vale per x > 0 e la seconda per x <0 , nn sono riuscita a scriverlo ) , verificato la continuita ed ho visto che era continua. Sono andata poi a fare la derivata e dato che ilmproblema sulla derivabilita* sorge in zero sono andata a vedere se era derivabile in zero e sfruttando il criterio sufficente derivabilita ho fatto direttamente il lim della derivata . Questi limiti mi sn venuti diversi quindi in zero non e* derivabile.poi ho studiato le derivate normalmente alla ricerca di massimi e minimi ma nell*intervallo richiesto non li trovo..dove sbaglio.?

[maurizio.schirinzi]

Se nei punti interni dell'intervallo richiesto non ci sono punti di max e minimo relativo devi valutare la funzione negli estremi dell'intervallo e il valore della y più alto ti darà il max assoluto mentre il valore della y più basso ti darà il min assoluto.

Il teorema di Weierstrass non serve a nulla per trovare i max e minimi assoluti: esso garantisce solo la loro esistenza ma non fornisce alcun metodo per trovarli!

Saluti.

[gloria]

Allora faccio semplicemente cosi ......: f'(x) = \[\frac{-x}{x+1}\] per x > 0
f'(×)=\[\frac{-2-x}{x+1}\] per x <0
Studio le derivate > uguali a 0 e l*unico punto critico presente nell*intervalllo e* zero. Poi ho valutato la funzione nei punti -1/2, 1/2 e zero , e ho visto che il massimo assolut9 e * in -1/2 e il minimo in 1/2.... cosi va bene? La ringrazio tanto, il suo aiuto e' fondamentale per chiarire i miei dubbi

[maurizio.schirinzi]

Si! ... ma tieni presente che in x=0 in realtà non si può parlare di punto critico nel senso della derivata nulla perchè in x=0 la funzione non è derivabile e la derivata non esiste (buco, ma punto angoloso!).

Ma poichè la funzione in quel punto è continua, per i teoremi alternativi sui max e minimi relativi che valgono per funzioni derivabili in un intorno bucato, possiamo lo stesso dedurre dallo studio del segno della derivata prima nell'intorno bucato se in x=0 c'è' un max o minimo relativo, che va quindi confrontato con i valori di quota negli estremi dell'intervallo per trovare i max e minimi assoluti.

Saluti.