Perché non è anche un massimo assoluto?
Inviato: 09/01/2014, 13:57Ho questa funzione \[1. \ f(x)=-xe^{2x-1}\]
e devo conoscere quali sono i massimi e i minimi relativi e assoluti, se esistono, senza disegnare il grafico di f(x).
La prima cosa che occorre sempre svolgere è l'insieme di esistenza o dominio della funzione. Quindi
\[dom(f)= \big\{x \in R: \forall x \in R\big\} =(-\infty ,+\infty)\]
Poi scelgo di svolgere i limiti per capire se la funzione tende a infinito tali per cui non possono esistere massimi o minimi assoluti (proprio perché la funzione può scendere o salire all'infinito):
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} -xe^{2x-1}=0 \ \ y=0 \ A.OR. (x \rightarrow -\infty)\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} -xe^{2x-1}=-\infty\]
Adesso calcolo la derivata prima di f(x) e la pongo maggiore di zero:
\[f' (x)=e^{2x-1}(-1-2x)>0\]
Faccio il grafico di f'(x) per studiare la crescenza, decrescenza e la presenza di massimi e/o minimi relativi:
\[f'(x) =\begin{cases}a & e^{2x-1}>0 \ sempre\\b & -1-2x>0 => x<- \frac{1}{2} \end{cases}\]
\[+++++++++++++++++++++++++++++++++ \rightarrow (e^{2x-1})\]
\[+++++++++++++++++++ \bullet_{(- \frac{1}{2}) } ---------- \rightarrow (x<- \frac{1}{2})\]
\[\ \ \ \ \ \ \nearrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Max \ relativo \ \ \ \ \ \ \ \ \searrow\]
\[\ \ \ cresce \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ decresce\]
Ora, per vedere se \[(- \frac{1}{2})\] è anche un massimo assoluto, lo sostituisco alla x della f(x) di partenza e cioè alla 1.:
\[f \big(-\frac{1}{2} \big)= -(-\frac{1}{2}) \cdot e^{2(-\frac{1}{2})-1}= \frac{1}{2} \cdot e^{-2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{2e^{2}}\]
Siccome noi abbiamo trovato un MASSIMO relativo ()
) e vogliamo sapere se quello è anche assoluto (oppure no), andiamo a guardare il 
e possiamo accorgerci che quando x tende a più infinito, la funzione f(x) scende in basso a meno infinito (nel IV quadrante, anche se non sappiamo qual è il suo esatto andamento verso il basso, ma sappiamo che certamente la funzione "precipita" verso il basso all'infinito); al che io mi dico: per capire se è anche un massimo assoluto basta vedere se 
è maggiore di 
. E allora 
? Mi pare proprio di sì e allora è anche un MASSIMO assoluto.
In realtà l'esercizio mi dice che \[(- \frac{1}{2})\] è solo un massimo relativo, significa che il mio ragionamento finale (cioè quello scritto in corsivo e viola) è sbagliato. Perché?
e devo conoscere quali sono i massimi e i minimi relativi e assoluti, se esistono, senza disegnare il grafico di f(x).
La prima cosa che occorre sempre svolgere è l'insieme di esistenza o dominio della funzione. Quindi
\[dom(f)= \big\{x \in R: \forall x \in R\big\} =(-\infty ,+\infty)\]
Poi scelgo di svolgere i limiti per capire se la funzione tende a infinito tali per cui non possono esistere massimi o minimi assoluti (proprio perché la funzione può scendere o salire all'infinito):
\[\lim_{x \rightarrow -\infty} -xe^{2x-1}=0 \ \ y=0 \ A.OR. (x \rightarrow -\infty)\]
\[\lim_{x \rightarrow +\infty} -xe^{2x-1}=-\infty\]
Adesso calcolo la derivata prima di f(x) e la pongo maggiore di zero:
\[f' (x)=e^{2x-1}(-1-2x)>0\]
Faccio il grafico di f'(x) per studiare la crescenza, decrescenza e la presenza di massimi e/o minimi relativi:
\[f'(x) =\begin{cases}a & e^{2x-1}>0 \ sempre\\b & -1-2x>0 => x<- \frac{1}{2} \end{cases}\]
\[+++++++++++++++++++++++++++++++++ \rightarrow (e^{2x-1})\]
\[+++++++++++++++++++ \bullet_{(- \frac{1}{2}) } ---------- \rightarrow (x<- \frac{1}{2})\]
\[\ \ \ \ \ \ \nearrow \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Max \ relativo \ \ \ \ \ \ \ \ \searrow\]
\[\ \ \ cresce \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ decresce\]
Ora, per vedere se \[(- \frac{1}{2})\] è anche un massimo assoluto, lo sostituisco alla x della f(x) di partenza e cioè alla 1.:
\[f \big(-\frac{1}{2} \big)= -(-\frac{1}{2}) \cdot e^{2(-\frac{1}{2})-1}= \frac{1}{2} \cdot e^{-2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{e^{2}}=\frac{1}{2e^{2}}\]
Siccome noi abbiamo trovato un MASSIMO relativo (
In realtà l'esercizio mi dice che \[(- \frac{1}{2})\] è solo un massimo relativo, significa che il mio ragionamento finale (cioè quello scritto in corsivo e viola) è sbagliato. Perché?
