Applicazione del Teorema di Weierstrass e ricerca dei massimi e minimi assoluti

[piero87]

Ciao a tutti.
mi potete aiutare con questo esercizio

Enunciare il teorema di weierstrass. Dire per quali valori di $\alpha \in R $ il teorema è applicabile alla funzione

$f(x)=\begin{cases}
\alpha +x, 1\leq x\leq \frac{3}{2}\\
cos (\pi x), \frac{3}{2}<x\leq 2
\end{cases}
$

nell'intervallo [ 1, 2 ]


determinare inoltre il massimo e il minimo assoluto di f.

Io ho risolto in questo modo:

Il teorema di weierstrass dice che:
Sia f una funzione continua in un intervallo (a, b) allora f(x) assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo (a, b).
per prima cosa mi sono trovato il valore $ alpha$ che renda continua la funzione nell'intervallo [1, 2]

$f(\frac{3}{2})= \alpha +\frac{3}{2}$
$\lim_{\frac{3}{2}+} cos(\frac{3}{2}\pi) =0 $
$\lim_{\frac{3}{2}-} \alpha +\frac{3}{2}= \alpha +\frac{3}{2} $
$\alpha +\frac{3}{2}=0$

la funzione sarà continua per valori di $\alpha = -\frac{3}{2}$

Ho fatto bene fin'ora?

come faccio a calcolarmi il massimo e il minimo assoluto?
Solitamente per trovarmi i punti di massimo e minimo faccio la derivata prima; in questo caso quale funzione prendo?

[maurizio.schirinzi]

In generale per trovare i massimi e minimi assoluti di una funzione, in un certo dominio di definizione o intervallo assegnato, occorre procedere nel seguente modo:

1) Trovare i massimi e minimi relativi della funzione nei punti dove la funzione e derivabile con il solito studio del segno della derivata prima
2) Calcolare tutte le quote y (i valori che assume la funzione) in quei punti di max/min relativi
3) Studiare a parte i punti di non derivabilità e/o i punti di confine del dominio calcolando anche per essi le quote della funzione
4) Avere un'idea di bozza del grafico della funzione, cioè dell'immagine della funzione

Occorre inoltre verificare in generale se la funzione ha dei punti al finito in prossimità dei quali va all'infinito (asintoti verticali) oppure se, nel caso di dominio esteso all'infinito, la funzione va all'infinito (limiti per x->infinito). Se la funzione dovesse avere un qualche andamento ad esempio all'infinito della sua y allora sarà illimitata (superiormente o inferiormente) e non potrà avere massimo o minimo assoluti.

Nel caso di verifica del Teorema di Weierstrass con f continua in un intervallo chiuso e limitato il max e min assoluti sono garantiti e per trovarli bastano solo le fasi 1-2-3.

Fatto questo, basta confrontare tutte le quote trovate: il più alto valore di quota finito della funzione nella sua immagine è il MAX assoluto, mentre il più basso valore di quota della funzione nella sua immagine è il MIN assoluto!

Nel tuo caso il dominio è limitato all'intervallo [1,2] dunque quanto sopra va analizzato in quell'intervallo.

Saluti.

[piero87]

grazie mille per la risposta

Ho fatto bene la prima parte dell'esercizio? trovarmi dove la funzione era continua?

Posso dire subito che per il teorema di W. visto che la funzione è continua in a, b questa è dotata di massimo e minimo nei punti a e b ?

[maurizio.schirinzi]

Si la prima parte dell'esercizio è corretta!

[piero87]

ora quindi posso fare le due derivate prime con \[\alpha=\frac{3}{2}\] e poi fare lo studio del segno della derivata prima come faceva nei Video tutorial?

[maurizio.schirinzi]

Si! ... applica esattamente tutti i passi e i ragionamenti che hai visto nei video-tutorials e arriverai tranquillamente alla soluzione corretta!

[piero87]

\[f'(x)= \alpha +x = 1\]

\[f'(x)= cos(\pi x)= -\pi sen(\pi x)\]

ora devo fare lo studio del segno di queste derivate

1 > o sempre positivo per \[1\leq x\leq \frac{3}{2}\]

ora ho dei problemi nel fare lo studio dell altra derivata.
mi potresti aiutare?

Negli altri esercizi per calcolare la crescenza facevo lo studio del segno e in corrispondenza di un cambio di segno e un azzeramento della derivata prima trovavo un punto di massimo o minimo.

qui invece ho dei problemi anche perchè prendendo in considerazione il primo intervallo, la derivata è 1, quindi positivo, la funzione cresce!
Ma non avendo punti di azzeramento della derivata prima non so dove è il minimo e il massimo.

[maurizio.schirinzi]

Innanzitutto che cos'è quella scrittura: $f'(x) = cos(\pi x) = - \pi sen(\pi x)$ ??

La funzione è $f(x) = \cos (\pi x)$ e la sua derivata è $f'(x) = - \pi sen(\pi x)$

Per trovare gli eventuali max e min relativi devi studiare il segno della derivata prima impostando una disequazione goniometrica!!

Inoltre una funzione può avere max e min assoluti anche senza avere max e min relativi!!
Ad esempio una funzione strettamente crescente in un intervallo chiuso e limitato (e quindi senza max e min relativi) ha un min assoluto nel primo estremo dell'intervallo e un max assoluto nel secondo estremo (basta calcolare le quote per rendersene conto).

I punti di non derivabilità (e quindi senza derivata prima nulla perchè non c'è) possono essere anche di massimo o minimo relativo (basta pensare ai punti angolosi o cuspidi dove la funzione esiste senza che esista la derivata!)

I max è min relativi non è vero che si hanno solo quando la derivata prima è nulla!! ... quella è una condizione necessaria ma non sufficiente per avere max e min relativi. Occorre avere cambio di segno della derivata a cavallo del punto con azzeramento della derivata stessa nel punto, ma tutto questo solo per i punti dove la funzione è derivabile! ... Per tutti gli altri punti "speciali" vanno fatti ragionamenti a parte!


Saluti.