Applicazione del teorema di Weierstrass

[piero87]

Ciao a tutti
Mi potete aiutare con questo esercizio ?

Enunciare il teorema di Weierstrass per le funzioni continue. Determinare il massimo e il minimo assoluto di \[ f(x)=1+|ln(\frac{x}{2})|\].

per trovarmi il massimo e il minimo devo aprire il contenuto del valore assoluto e fare le due derivate prime per vedere dove la funzione è crescente e decrescente?

\[ ln(\frac{x}{2})>0 \]
\[ ln(\frac{x}{2})> ln(1) \]
\[ \frac{x}{2}>1, x>\frac{1}{2} \]

quindi avrò:

per \[ x>\frac{1}{2} \] \[ f(x)=1+ln(\frac{x}{2})\].

per \[x<\frac{1}{2} \] \[ f(x)=1-ln(\frac{x}{2})\].

ora faccio le due derivate prime e vedo la crescenza della funzione ?

grazie mille

[maurizio.schirinzi]

Si, ma tutto lo studio va fatto nella zona di dominio della funzione che è x/2 > 0 cioè x>0 !!

Inoltre nel tuo calcolo c'è un errore:
\[\frac{x}{2} > 1\;\;\; \to \;\;\;x > 2\]

Saluti.

[piero87]

grazie per la risposta

quindi dovrò calcolarmi:

\[f(x)'= 1+ln(\frac{x}{2}), per x>2 \]

\[f(x)'= 1-ln(\frac{x}{2}), per x<2 \]

una volta calcolate le derivate dovrò fare lo studio del segno delle derivate (partendo da x>0)??

[maurizio.schirinzi]

Si !! ... studia il segno delle derivate a partire da x>0 e nelle rispettive zone a tratti della x, avendo poi cura di studiare a parte il punto di separazione del valore assoluto (x=2) dal punto di vista della derivabilità (essendo un punto agoloso) e considerare la quota della funzione in esso (oltre alle quote degli eventuali punti di max e min relativi trovati con lo studio del segno delle derivate) per la determinazione poi dei massimi e minimi assoluti!

Saluti.

[piero87]

quindi avrò

\[f(x)', \frac{1}{x}, per x>2\]
\[f(x)', -\frac{1}{x}, per x<2\]

faccio lo studio del segno

\[\frac{1}{x}>0, x>0\]
\[\frac{-1}{x}>0, x<0\]

avrò un intervallo di decrescenza nell'intervallo che va da 0 a 2 ( il punto 2 risulta un punto di non derivabilità)

[piero87]

prima mi sono sbagliato, il testo non mi chiede un intervallo di decrescenza, di trovare il massimo e il minimo assoluto. Come faccio una volta calcolate le derivate prime?

[maurizio.schirinzi]

E' decrescente nell'intervallo ]0,2[ !!

[piero87]

Come faccio a trovarmi il massimo e il minimo ?
grazie

[maurizio.schirinzi]

Come ho scritto in uno dei miei precedenti post!!

[piero87]

posso trovarmi il valore della funzione in zero e in due. Ma non so per valori maggiori di due come va la funzione. Oppure devo fare proprio lo studio completo della funzione, quindi calcolandomi anche gli asintoti e facendo tutto il grafico?

[maurizio.schirinzi]

Poichè la funzione in prossimità di x=0 da destra va a +infinito (basta fare un limite nel punto estremo del dominio) è chiaro che essendo illimitata superiormente non può avere max assoluto. Per l'eventuale minimo assoluto devi studiare completamente il segno della derivata per trovare i max e min relativi nelle rispettive zone di x>0, oltre poi a determinare le quote di essi e del punto angoloso a parte.

La più bassa quota finita sarà un min assoluto!!

Si noti che il teorema di Weierstrass non è applicabile poichè non abbiamo una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato!!