Studio della derivata seconda

[Martina]

\[y= ln\left ( 3+e^{-x^2} \right )\]
\[y= \frac{-2xe^{-x^2}}{\ 3+e^{-x^2}}\]

Salve, ho inserito due funzioni. In realtà la prima, è la funzione di partenza, mentre la seconda è la derivata prima della funzione di sopra (sperando che sia giusta). Ringrazio moltissimo degli aiuti e dei consigli.


PS: Spero di aver inserito l'esercizio nella sezione giusta

[maurizio.schirinzi]

Ciao Martina, immagino che la domanda era sul calcolo della derivata seconda e il relativo studio del segno? ...
Se è cosi ecco il calcolo della derivata seconda:
\[\begin{array}{l}
f(x) = \ln (3 + {e^{ - {x^2}}})\\
f'(x) = \frac{{ - 2x\,{e^{ - {x^2}}}}}{{3 + {e^{ - {x^2}}}}}
\end{array}\]
\[\begin{array}{l}
f''(x) = \frac{{[ - 2{e^{ - {x^2}}} + ( - 2x){e^{ - {x^2}}}( - 2x)](3 + {e^{ - {x^2}}}) - ( - 2x){e^{ - {x^2}}}{e^{ - {x^2}}}( - 2x)}}{{(3 + {e^{ - {x^2}}})}} = \\
= \frac{{{e^{ - {x^2}}}[ - 2 + 4{x^2}](3 + {e^{ - {x^2}}}) - 4{x^2}{{({e^{ - {x^2}}})}^2}}}{{(3 + {e^{ - {x^2}}})}} = \frac{{{e^{ - {x^2}}}\{ (4{x^2} - 2)(3 + {e^{ - {x^2}}}) - 4{x^2}{e^{ - {x^2}}}\} }}{{(3 + {e^{ - {x^2}}})}} = \\
= \frac{{{e^{ - {x^2}}}\{ 12{x^2} + 4{x^2}{e^{ - {x^2}}} - 6 - 2{e^{ - {x^2}}} - 4{x^2}{e^{ - {x^2}}}\} }}{{(3 + {e^{ - {x^2}}})}} = \frac{{{e^{ - {x^2}}}(12{x^2} - 6 - 2{e^{ - {x^2}}})}}{{(3 + {e^{ - {x^2}}})}}
\end{array}\]
La complicazione dello studio del segno della derivata seconda è nel fattore ${12{x^2} - 6 - 2{e^{ - {x^2}}}}$ !!
Lo studio del segno di questo fattore non è possibile farlo con le normali tecniche algebriche delle disequazioni esponenziali in quanto la disequazione che si ottiene non è risolvibile algebricamente (la x è presente sia dentro che fuori ad un esponenziale!).
In questi casi di solito si rinuncia allo studio della derivata seconda e alle relative informazioni di concavità convessità; tuttavia se nel compito viene richiesto esplicitamente questo studio, allora occorre effettuare uno studio grafico e numerico della disequazione esponenziale suddetta; per fare questo basta spezzarla in due funzioni da studiare, una parabola e un esponenziale nel seguente modo:
\[\begin{array}{l}
12{x^2} - 6 - 2{e^{ - {x^2}}} \ge 0\\
12{x^2} - 6 \ge 2{e^{ - {x^2}}}\\
6{x^2} - 3 \ge {e^{ - {x^2}}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 6{x^2} - 3\\
y = {e^{ - {x^2}}}
\end{array} \right.
\end{array}\]
Lo studio grafico delle due funzioni ti farà capire dove è verificata la disequazione e quindi il relativo studio di segno rispetto ai punti approssimativi di intersezione delle due curve. Ecco in allegato i due grafici a confronto dove noterai i punti di incrocio a circa x=-+0,7.

Saluti.