Studio della derivata seconda

[giuliasorgente93]

\[\large ln(\sqrt{x }+9)\]
Salve questo è il testo originale della funzione. Da questa io mi sono ricavata la deriva prima :
\[\large \frac{1}{2x+ 18\sqrt{x}}\]

Adesso però ho problemi con la derivata seconda. Potete aiutarmi?
Grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ecco le derivate:
\[\begin{array}{l}
f(x) = \ln (\sqrt x + 9)\\
f'(x) = \frac{1}{{2x + 18\sqrt x }}\\
f''(x) = - \frac{{2\sqrt x + 9}}{{4\sqrt x {{(x + 9\sqrt x )}^2}}}
\end{array}\]
Saluti.

[giuliasorgente93]

Non capisco i passaggi per giungere a quel risultato :/
Può spiegarmeli, gentilmente?
Grazie in anticipo
Saluti

[maurizio.schirinzi]

Applicando la nota regola di derivazione del reciproco sulla derivata prima si ottiene la derivata seconda come di seguito:
\[\begin{array}{*{20}{l}}
{f(x) = \ln (\sqrt x + 9)}\\
{f'(x) = \frac{1}{{(\sqrt x + 9)}}\frac{1}{{2\sqrt x }} = \frac{1}{{2x + 18\sqrt x }}}\\
{f''(x) = - \frac{{2 + 18\frac{1}{{2\sqrt x }}}}{{{{(2x + 18\sqrt x )}^2}}} = - \frac{{\frac{{4\sqrt x + 18}}{{2\sqrt x }}}}{{{{(2(x + 9\sqrt x ))}^2}}} = - \frac{{\frac{{2\sqrt x + 9}}{{\sqrt x }}}}{{4{{(x + 9\sqrt x )}^2}}} = - \frac{{2\sqrt x + 9}}{{4\sqrt x {{(x + 9\sqrt x )}^2}}}}
\end{array}\]
Saluti.