Calcolo derivata in un punto generico con la definizione

[piero87]

Ciao a tutti
Mi potete aiutare con questo esercizio'

definizione di funzione derivabile in un punto e suo significato geometrico. Utilizzandola calcolare la derivata prima della funzione Y=sin3x.

il mio dubbio è di come rispondere a questa domanda; Mi spiego meglio:
Oltre a scrivere la definizione di funzione derivabile in un punto e suo significato geometrico come devo calcolare la derivata?
in modo normale? \[3cos(3x) \]

[maurizio.schirinzi]

No!! ... l'esercizio ti chiede di calcolare la derivata puntuale-generica con la definizione e cioè mediante il limite del rapporto incrementale!

Guarda il seguente video-tutorial nella sezione di Teoria dove viene spiegato tutto dettagliamente:

Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Introduzione alle Derivate e Definizioni >> Calcolo della Derivata Puntuale e Generica

Saluti.

[piero87]

come punto X0 quale devo prendere visto che il testo non me lo da???

[maurizio.schirinzi]

Il testo vuole che calcoli la derivata generica in un punto x° generico che puoi semplicemente chiamare x.
Nel video-tutorial che ti ho indicato è spiegato anche questo: guardalo tutto fino alla fine e non avrai mai più dubbi sulla questione!

[piero87]

ho visto il video, ora ho capito come procedere.

nel mio caso:

sin3x=

\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x0+h)-f(x0)}{h}\]
\[\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin(3(x0+h))-sin(3x0)}{h}\]

è giusto come ho impostato il limite?
come lo risolvo? con i limiti notevoli?

[maurizio.schirinzi]

La derivata prima e il limite del rapporto incrementale in un punto x generico si scrive cosi:
\[f'(x) = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{f(x + h) - f(x)}}{h}\]
Nel caso della tua funzione si ha:
\[D[sen(3x)] = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3x + 3h) - sen(3x)}}{h} = \]
il limite si puù risolvere con i limiti notevoli applicando prima le formule di addizione o quelle di prostaferesi. Nel primo caso si ha:
\[ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3x)\cos (3h) + \cos (3x)sen(3h) - sen(3x)}}{h} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3x)\cos (3h) - sen(3x)}}{h} + \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\cos (3x)sen(3h)}}{h} = \]
\[ = \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3x)\,[\cos (3h) - 1]}}{h} + \cos (3x) \cdot 3 \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3h)}}{{3h}} = \]
\[ = sen(3x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{ - 9h\,[1 - \cos (3h)]}}{{{{(3h)}^2}}} + \cos (3x) \cdot 3 \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3h)}}{{3h}} = \]
\[ = sen(3x) \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} [ - 9h] \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{1 - \cos (3h)}}{{{{(3h)}^2}}} + \cos (3x) \cdot 3 \cdot \mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{sen(3h)}}{{3h}} = \]
\[ = sen(3x) \cdot 0 \cdot \frac{1}{2} + \cos (3x) \cdot 3 \cdot 1 = 3\cos (3x)\]

Saluti.