Ciao, prima di tutto immagino che la funzione, che non risultava scritta correttamente con equation editor, dovrebbe essere questa?!! ...
\[f(x) = \ln (3 + {e^{\beta x}})\]
se è così riportando i dati del problema abbiamo
\[\begin{array}{l}
P(0,f(0))\;\;\;{\rm{(punto}}\;{\rm{di}}\;{\rm{tangenza)}}\\
{x_0} = 0\;\;\;{\rm{(ascissa}}\;{\rm{del}}\;{\rm{punto}}\;{\rm{di}}\;{\rm{tangenza)}}\\
y = - x\;\;\;{\rm{(bisettrice}}\;{\rm{2^\circ }}\;{\rm{e}}\;{\rm{4^\circ }}\;{\rm{q}}{\rm{.)}}\;\;\; \to \;\;\;{m_b} = - 1
\end{array}\]
scriviamo la solita formula della tangente in un punto qualsiasi ad una funzione derivabile in quel punto che nel nostro caso è ${x_0} = 0$
\[{y_t} = f({x_0}) + f'({x_0})\,(x - {x_0}) = f(0) + f'(0)\,(x - 0)\]
calcoliamo la quota ordinata del punto P
\[f({x_0}) = f(0) = \ln (3 + {e^0}) = \ln (4)\]
calcoliamo la derivata generica della funzione
\[f'(x) = \frac{1}{{3 + {e^{\beta x}}}}{e^{\beta x}}\beta = \frac{{{e^{\beta x}}\beta }}{{3 + {e^{\beta x}}}}\]
calcoliamo la derivata specifica nel punto ${x_0} = 0$
\[f'({x_0}) = f'(0) = \frac{{{e^0}\beta }}{{3 + {e^0}}} = \frac{\beta }{4}\]
scriviamo l'equazione della retta tangente nel punto
\[{y_t} = f(0) + f'(0)\,(x - 0) = \ln (4) + \frac{\beta }{4}x = \frac{\beta }{4}x + \ln (4)\]
il coefficiente angolare della tangente sarà
\[{m_t} = \frac{\beta }{4}\]
poichè la tangente deve essere perpendicolare alla bisettrice del 2° e 4° quadrante imponiamo la condizione di perpendicolarità
\[{m_t} = - \frac{1}{{{m_b}}}\]
quindi nel nostro caso sarà
\[\frac{\beta }{4} = - \frac{1}{{ - 1}} = \;\;\; \to \;\;\;\frac{\beta }{4} = 1\;\;\; \to \;\;\;\beta = 4\]
dunque l'equazione richiesta della retta tangente nel punto sarà
\[{y_t} = \frac{\beta }{4}x + \ln (4) = x + \ln (4)\]
Saluti.
NB: Ti prego di sforzarti un po di più ad usare correttamente l'equation editor leggendo le istruzioni e facendo qualche prova con la DEMO. Nella demo (cosi come nell'editor del forum) puoi sempre guardare l'anteprima in tempo reale della formula che stai compilando e questo potrà aiutarti a capire come scrivere correttamente il codice LaTex. Per questo post lo User Admin provvederà a correggere il codice errato. Grazie!
