E se l'estremante in ascissa coincide con il punto b dell'intervallo [a,b]?

[inzo]

Non ho capito bene cosa succede se il punto massimo assoluto della funzione si trova sulla stessa ascissa del punto che chiude l'intervallo aperto a, b. Cioè, mi sto chiedendo se in quel caso IL PUNTO f(xmax) SIA DERIVABILE E FACCIA O, e non sia un punto angoloso o comunque non di derivata 0.

Non sono sicuro di avere capito bene i punti angolosi o comunque derivabili, più che altro.

In questo caso a me pare che le tre condizioni di Rolle siano rispettate, ma in questo caso non vedo nessuna derivata uguale a 0.
Ricordo le condizioni: 1. la funzione continua 2. la funzione derivabile nell intervallo a, b aperto, cioè a e b non necessariamente 3. f(Xa) uguale f(Xb).
PREMESSA: a me pare che la dimostrazione di ROLLE segua la stessa logica di FERMAT sui punti stazionari, poi si capisce perchè lo dico.
ALLORA, RIMANIAMO NELL'ESEMPIO IN CUI LA FUNZIONE SALGA: Ammettiamo che il punto di ascissa max assoluto, in corrispondenza del quale avremo f (Xmax), coincida con Xb. In questo punto di max, la funzione da questo preciso in poi, precipita in una retta verticale per riallinearsi con f(Xa). Salgo fino al punto massimo in corrispondenza di ascissa Xb, e poi, dato che per ipotesi 3 f(xb) deve essere uguale ad f(Xa), la funzione ritorna in verticale fino al valore di ordinata f(Xa).
Quindi le ipotesi di ROLLE sono rispettate: la funzione non è derivabile in a, b ma lo è in tutto l'intervallo aperto in a,b.
La f(Xb) si riallinea "all'ultimo momento" con fXb), e alla fine f(Xa) uguale f(Xb).

Ma in questo caso, se appunto la funzione raggiunge il max in corrispondenza di Xb e poi precipita in verticale per riallinearsi con f(Xa) MI CHIEDO SE LA DERIVATA SIA UGUALE A O (e se ci sia una derivata, forse siamo pure in presenza di un punto angolare?)
Preciso che in qualsiasi intervallo infinitesimale prima della f(Xmax), diciamo "un punto appena prima" che chiamerei "massimo relativo", la derivata mi pare positiva.

IN ESTREMA SINTESI: IL PUNTO ESTREMANTE ASSOLUTO IN QUESTO CASO E' DERIVABILE E FA ZERO??? O QUELLO APPENA PRIMA, ESTREMANTE LOCALE, FA ZERO?

[maurizio.schirinzi]

Ciao inzo e benvenuto nel Forum di EasyMath ITALIA! ...

Vediamo di chiarire i tuoi dubbi sul Teorema di Rolle: nei punti all'estremo dell'intervallo la funzione può non essere derivabile (condizione tra l'altro non richiesta dal Teorema di Rolle) poichè al di fuori dell'intervallo la funzione potrebbe anche non esistere (nel caso di dominio = intervallo di osservazione di Rolle).

Inoltre fai molta attenzione invece alla 1° ipotesi fondamentale di continuità della funzione nell'intervallo [a,b] chiuso! ... questo significa non solo continuità destra-sinistra completa in tutti i punti "interni" (è lo sarà comunque se poi la funzione deve essere derivabile nei punti interni come da 2° ipotesi del teorema), ma soprattutto (cosa fondamentale ma raramente raccontata a scuola o nei libri di testo) che la funzione deve essere mezza-continua a sinistra nel punto x=b e mezza-continua a destra nel punto x=a estremi dell'intervallo!

Ora per definizione di continuità (solo destra o solo sinistra) questo significa che il limite ad esempio sinistro per x che tende a b- deve coincidere con il valore "secco" che assume la funzione nel punto x=b; in altre parole la funzione nei punti "microscopicamente" vicini a x=b assume valori sempre vicini e quindi "attaccati" al valore di quota che assume nel punto x=b. Pertanto non può accadere quello che dici e cioè che la funzione un attimo prima di x=b fa un salto in picchiata (con pendenza infinita) per riagganciarsi alla quota che assume in x=b.

Inoltre è vero che ci potrebbe essere un massimo assoluto in x=a e x=b alla stessa quota cioè con con f(a)=f(b) (per l'ipotesi 3 di Rolle) e senza che ci sia derivabilità in quei punti estremi, ma se ciò accade allora un altro punto di max (o di min) deve poi esistere da qualche altra parte all'interno dell'intervallo (salvo il caso di funzione sia tutta costante dentro all'intervallo [a,b].

Si noti che la tesi di Rolle dice che deve esistere "almeno" un punto Xc dove la derivata è uguale a zero (quindi ne basta uno solo).

La sostanza del Teorema di Rolle, raccontata in termini molto intuitivi, dice che se una funzione in un intervallo si svolge punto per punto con continuità (senza salti improvvisi di nessun tipo) e si svolge in modo "arrotondato" (senza spigoli o punti di non derivabilità) allora nello svolgersi partendo da una quota f(a) e dovendo ritornare prima o poi alla stessa quota f(b) (per l'ipotesi 3 del teorema), per forza dovrà "girare per tornare indietro" compiendo una "curva arrotondata" dove la tangente sarà orizzontale (derivata prima nulla)!! ... Non c'è altra possibilità oltre a quella banale di funzione costante in tutto l'intervallo [a,b].

Per maggiori dettagli sul Teorema di Rolle ti consiglio di guardare i relativi video di teoria nel seguente ordine:

Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teoremi Fondamentali >> Teorema di Rolle >> Enunciato Spiegazione Esempi
In questo primo video sono spiegati, con molti esempi, tutti i concetti di quanto su detto nei minimi particolari (guarda soprattutto il dettaglio sulla continuità destra-sinistra negli estremi dell'intervallo [a,b].

Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Teoremi Fondamentali >> Teorema di Rolle >> Dimostrazione
In questo secondo video viene svolta la dimostrazione rigorosa che tiene conto di tutti i dettagli precedenti.

Ti consiglio inoltre di guardare bene i seguenti video sulla definzione di derivabilità di una funzione e sulla questione dei punti di non derivabilità:

Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Introduzione alle Derivate e Definizioni >> Definizione di Derivata e Derivabilità
Analisi 1 >> Derivate e Calcolo Differenziale >> Introduzione alle Derivate e Definizioni >> Punti di Non-Derivabilità e Classificazione

Noterai sicuramente da questi video molti dettagli importantissimi che ti aiuteranno molto con i tuoi dubbi e che in altri video su internet non vengono affrontati affatto o vengono raccontati troppo superficialmente!

Infine ti segnalo il link al nostro primo corso completo di argomento già disponibile che potrà esserti utile nello studio del calcolo differenziale:

Prodotti >> Corsi Completi >> Corso Completo di Argomento - Analisi 1 : Derivate e Calcolo Differenziale

Visto che, da quello che mi sembra di capire, sei molto interessato ad approfondire ogni aspetto dettagliato degli argomenti di matematica, non ti sarà difficile renderti conto che i nostri video-tutorials, di elevata qualità e ricchezza di contenuti, sono al momento i più completi e quanto di meglio esista su internet!

Saluti.

[inzo]

Forse la colpa è del fatto che ho letto le dimostrazioni "a pezzetti" sbirciando su libri ti testo e tutorial internet....
Ma non ho ancora capito quale delle ipotesi di Rolle, che, ripeto, forse non ho trovato spiegate con completezza, IMPEDISCA ALLA FUNZIONE DI AVERE UNO "SPIGOLO" per Xmax estremante assoluta coincidente con Xb. Immagino un disegnino: traccio una curva, arrivo esattamente sopra a Xb e poi traccio una retta verticale per ritornare a Xb.
La funzione è continua, fxb ritorna a livello di fxa, non è derivabile nel punto Fx max e solo in quello.
ESEMPIO CON FERMAT: FERMATA definisce il punto di accumulazione per x definito in Xmax più delta, Xmax meno delta - nota: per DELTA SEMPRE MAGGIORE DI ZERO.
Se delta fosse uguale a zero, il rapporto incrementale in un INTORNO DI INFINITO destro o sinistro, sarebbe impossibile.

A QUESTO PUNTO, TORNANDO A ROLLE, per Xmax uguale a Xb IL DELTA NON ESISTE.

FORSE, SEMPLICEMENTE, SUI LIBRI DI TESTO SI SONO DIMENTICATI DI SPECIFICARE CHE DEVE ESSERCI UN RAPPORTO INCREMENTALE SIA A DESTRA CHE A SINISTRA. Ma se leggo le tre ipotesi di continuita, derivabilita in aperto e due punti uguali, io non vedo una derivata ZERO.

NON INSISTO, SCUSATE. CREDO APPUNTO CHE HO LETTO LIBRI DI TESTO NON PRECISI. GRAZIE.

[maurizio.schirinzi]

No!! ... non puoi raccordare una funzione nell'estremo dell'intervallo con una retta verticale perchè non sarebbe più una funzione!! ...
Si ricordi infatti che per definizione di funzione ad ogni valore della variabile indipendente x deve corrispondere "una e una sola" y !!
Una retta (o segmento di raccordo) verticale non è una funzione perchè ad un valore della x corrisponderebbero infiniti valori della y per la stessa ascissa!

Dunque una funzione che arriva in x=b con una "tendenza" di quota (limite) diversa da quella che assume secca in x=b non potrà essere continua a sinistra nel punto x=b e dunque l'ipotesi di Rolle di continuità sinistra in x=b non sarebbe soddisfatta!
Il rapporto incrementale qui non c'entra nulla perchè in un punto dove la funzione non è continua essa non potrebbe essere derivabile e infatti il limite del rapporto incrementale verrebbe infinito, ma ciò non interessa alle ipotesi di Rolle perchè la derivabilità negli estremi è esclusa a priori dal teorema.

Ti consiglio inoltre di guardare bene i video che ti ho indicato sulla definizione di derivabilità e poi anche sui punti di non derivabilità, anche per chiarire bene tutte le questioni relative al limite del rapporto incrementale e la derivabilità solo destra e/o solo sinistra, altri dettagli importantissimi spesso ignorati dai libri di testo o nei corsi a scuola, oltre che dagli altri video-tutorials troppo "semplicisti" che si trovano su internet!

Saluti.

[inzo]

ma certo che stupido! Come non detto. Lo avevo fatto notare io stesso in calce alla dimostrazione video, poi guardando un mio disegnino fatto male mi è uscita questa follia.
Allora, spero di aver capito e riassumo qua sotto.

SE L'ESTREMANTE IN ASCISSA COINCIDE COL PUNTO B?

Io volevo arrivare a questa conclusione: Si tratta di uno dei motivi per cui nelle ipotesi di Rolle NON interessa la DERIVABILITA' in Xa in Xb.

-Sottinteso che sto solo prendendo in considerazione l'ipotesi di un punto di massimo.-
1- Se siamo nella ipotesi fXmax = f Xa = Fxb, allora sono tre punti lungo una retta e la derivata fa zero per forza.
2-Al di fuori della ipotesi uno e due- semplicemente non è possibile che vi siano un estremante Xmax = Xb. Infatti in questo caso la funzione per riaccordarsi con f Xb dovrebbe precipitare in corrispondenza di Xb lungo una retta verticale, e quindi qui la funzione non esiste. Xmax sarà sempre un pò più a sinistra di Xb. Non interessa la derivabilità in Xb, ma solo la CONTINUITA' anche in corrispondenza di Xb per assicurare che f (Xm) sia a sua volta derivabile.


Grazie.... e vado di corsa a ripassarmi le ipotesi di derivabilità e continuità.

[inzo]

BUON GIORNO INGEGNERE, volevo salutarla.
ho seguito il suo consiglio e mi sono finalmente iscritto a la canale PREMIUM, cosi avrò modo di ripassare tutti gli argomenti a partire dalle nozioni di funzione e di derivazione.
Mi chiedo se più avanti farete anche qualcosa sugli integrali, però, come ho imparato "a mie spese", l'importante è FARSI SE BASI e non andare troppo avanti.
Grazie, lei sa che sono un fan di questo sito.

[inzo]

ricordando il mio errore grottesco, penso che una scrittura del genere non ha senso -disegno sul link- , anche se evidentemente il bravissimo professore di questo sito lo ha fatto per motivi didattici.

http://www.ripmat.it/mate/c/cf/cfea1a.html

grazie, da ora in poi la disturbero solo per cose serie.

[maurizio.schirinzi]

Ciao inzo, grazie innanzitutto per esserti iscritto al servizio Premium !!

Con il piccolo contributo di tutti gli utenti Premium speriamo di continuare a produrre sempre più video per coprire tutti gli altri argomenti ancora non affrontati! ... Purtroppo non so darti tempistiche precise su argomenti specifici ma da parte mia ci sarà sempre il massimo impegno ad offrire un servizio di elevatissima qualità e ricchezza di contenuti!

Vengo alla tua precisazione in merito a questo topic: in realtà nulla vieta alla funzione di avere negli estremi una pendenza non verticale; basta disegnare invece di una semicirconferenza (come nel tuo grafico) un arco di circonferenza di ampiezza < 180° dove negli estremi a e b la funzione avrebbe una pendenza finita e quindi una derivabilità unilaterale, ma non bilaterale come deve essere (per le ipotesi del teorema) in tutti i punti punti interni dell'intervallo [a,b].

Il tuo disegno è dunque quello di una funzione più particolare dove negli estremi la derivata lato interno vale infinito (pendenza verticale)!

In realtà il motivo per cui viene esclusa dalle ipotesi del teorema di Rolle la derivabilità completa destra-sinistra negli estremi è proprio perchè la funzione al di fuori dell'intervallo [a,b] potrebbe non essere definita (fuori dominio) e pertanto in tal caso il limite del rapporto incrementale, sinistro in a e destro in b, non esisterebbe mentre può esistere finito il limite del rapporto incrementale "lato interno" in sia in a che in b! ...

Si ricordi inoltre che la parola "derivabile in un punto" si può usare solo se esistono entrambi i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale e questi limiti sono uguali ad uno stesso valore finito! ... in tutti gli altri casi dobbiamo dire che la funzione non è derivabile!

Saluti.

[inzo]

solo per precisare: il disegno non è mio ma è di un professore suo collega titolare del sito http://www.ripmat.it che, pur essendo bravissimo e spiegandosi bene, ha fatto un disegno per finalità didattiche che secondo me non ha senso ma guardando il quale è nata la mia ASSURDA osservazione su ROLLE. Infatti il disegno non rappresenta UNA SEMICIRCONFERENZA che di per se avrebbe- se non sbaglio- derivata INFINITA IN OGNI PUNTO e quindi non rientra in Rolle, ma una curva "normalissima" che però NEGLI ESTREMI a E b DIVENTA "VERTICALE" per un tratto... per riaccordarsi lungo le due linee in verticali in corrispondenza di a E b ...cosa che non ha senso perché una funzione non può essere VERTICALE in un tratto. Guardando questo disegno mi era venuto il dubbio: SE IO TIRO UNA RIGA DIRITTA GIUNTO AL PUNTO b ESTREMANTE SUPERIORE.... etc... etc...

Davvero, scusi se scrivo ancora su questa cosa che era solo un equivoco. D'altra parte, è stata occasione per UN RIPASSO DI DEFINIZIONI che spero sia servito anche ad altri "neofiti" del forum. Penso di avere capito adesso, le scriverò solo per dubbi più seri. Grazie di nuovo.

[maurizio.schirinzi]

Nessun disturbo caro inzo,

Lo scopo di questo forum è proprio quello di chiarire quei piccoli aspetti della matematica che, per quanto banali, sono la causa principale della maggior parte dei dubbi o confusioni negli studenti, aspetti che, anche se considerati immediati e scontati dalla quasi totalità degli insegnanti e quindi raramente precisati nelle lezioni a scuola, a mio parere non lo sono affatto e andrebbero sempre affrontati nelle lezioni prima ancora degli altri concetti più importanti !!

Si ... l'esempio del mio collega nel sito da te linkato non è proprio una semicirconferenza ma è purtroppo un pò "forviante" a causa del fatto che quanto disegnato è una "quasi" semicirconferenza raccordata negli estremi da due piccole rette verticali e che non sarebbe una funzione per via del fatto che nelle due piccole parti verticali (negli estremi x=a e x=b) ad un valore della x corrisponderebbero infiniti valori della y, cosa che è contraria alla definizione di funzione! ... pertanto sarebbe inutile parlare di Teorema di Rolle.

Quello che invece intendevo con il mio esempio è che disegnando una "vera" semicirconferenza con estremi del diametro nei punti estremi dell'intervallo [a,b] (quindi in x=a e x=b) si avrebbe una funzione vera e propria che negli estremi x=a e x=b avrebbe pendenza infinita (e quindi derivata infinita) dalla parte interna degli estremi (lato destro in x=a e lato sinistro in x=b) pertanto il Teorema di Rolle è pienamente applicabile perchè in tutti gli altri punti interni dell'intervallo [a,b] la semicirconferenza sarebbe pienamente derivabile con derivata destra-sinistra completa!

Inoltre se invece di prendere una semicirconferenza prendiamo un "arco" di circonferenza di ampiezza inferiore a 180° in questo caso sarebbe ancora una funzione su cui è applicabile Rolle ma che negli estremi x=a ed x=b avrebbe (sempre dal lato interno all'intervallo [a,b]) una pendenza "finita" e quindi si avrebbe una derivabilità unilaterale in x=a e x=b (dal lato interno) ma non derivabilità completa destra-sinistra anche se la derivabilità negli estremi non serve alle ipotesi di Rolle!

Sono sicuro che tutte queste precisazioni che abbiamo fornito agli altri utenti del Forum con il tuo intervento saranno utilissime proprio perchè il tuo dubbio banale iniziale non è affatto cosi raro!!

A presto.