www.easymath.it

Buongiorno Ing. Schirinzi,
Mi trovo in difficoltà nell'applicazione del Teorema in oggetto con funzioni di questo tipo con radici quadrate al denominatore.
La prima ipotesi di derivabilità è confermata nell'intorno del punto 1 ma la seconda [g'(x) diverso da 0] mi risulta come non esistente.

[EDIT - Admin] Correzione codice LaTex
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }}\]

Scusi l'inversione della scrittura della formula ma non sono riuscito a fare meglio.

Cordiali saluti.
Giulio

Ciao, se ho capito bene, dalla formula scritta male, il limite dovrebbe essere questo:

[EDIT] Correzione errore di trascrizione
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }}\]
Si noti subito che il limite sinistro non può esistere, per le ovvie condizioni di esistenza della radice a denominatore; quindi abbiamo:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }} = \left\{ \begin{array}{l}
\not \exists \;\;\;\;\;\;(x \to {1^ - })\\
[\frac{0}{0}]\;\;\;(x \to {1^ + })
\end{array} \right.\]
ci limiteremo dunque a calcolare il solo limite destro che soddisfa pienamente tutte le ipotesi di De L'Hopital, compresa quella di
\[g'(x) \ne 0\;\;\;\forall x \in {I^ + }({x_0}) - \{ {x_0}\} \]
infatti il teorema nelle sue ipotesi richiede che la funzione a denominatore sia derivabile e con derivata prima diversa da zero per tutte le x dell'intorno (nel nostro caso solo intorno destro) tranne nel punto stesso (x=1), dove ovviamente nel nostro caso la funzione non è derivabile. Pertanto non ci sono problemi ad applicare la regola e si avrà:
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 1} - \sqrt 2 }}{{\sqrt {x - 1} }}\mathop = \limits_H \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}}}{{\frac{1}{{2\sqrt {x - 1} }}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\sqrt {x - 1} }}{{\sqrt {x + 1} }} = \frac{0}{{\sqrt 2 }} = 0\]

Saluti.


PS: Lo User Admin provvederà a correggere la formula. Ai seguenti indirizzi troverai tutte le istruzioni per imparare ad usare tale strumento ed una pagina demo dove potrai esercitarti prima di postare nel Forum:

Come si scrivono le formule con Equation Editor (LaTeX e ASCII-MathML)
Demo Equation Editor

Perdoni l'uso dell'equation editor! Provvederò subito a migliorarne l'utilizzo.
La funzione corretta che intendevo scrivere a numeratore come secondo membro aveva \[- \sqrt{2}\] .
Mi sembra però che ciò non modifichi il risultato finale.

Grazie della specificazione sull'intorno del punto!

Giulio

Si !! ... c'era ovviamente una radice di 2 altrimenti il limite non sarebbe in forma indeterminata! ...
... scusa ma ho fatto un errore di trascrizione dall'equation editor!

Provvedo subito a rieditare e a correggere l'errore nel mio post precedente!

A presto.