Dimostrazione teorema esistenza zeri

[gloria]

salve. NON comprendo alcune parti della dimostrazione del teorema.
La dimostrazione si divide in 2 parti:1)Io parto dall ipotesi che la funaione nei due estremi assuma valori opposti e in particolare f (a)> 0 f (b)<0 . Poi il mio prof dice si considerare poi il sottoinsieme in cui la f (x)> 0 e fa vari ragionamenti validi per il punto a. Poi fa ragionamenti validi x il punto b definendo un punto C=estremo superiore. 2) dimostro che f (c)=0 dimotrandi chec non e* vero che f (c)> 0 e neanche f (c)<0 . La seconda parte della dimostrazione l*ho capita.la prima parte invece no,vorrei avere anche una vostra spiegazione in maniera tale di integrare le parti che ho poco chiare con la vostra spiegazione .grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao, credo che il tuo prof faccia riferimento a questa dimostrazione:

Teorema degli zeri (di Bolzano)

il Teorema degli Zeri o di Bolzano appartiene a un gruppo di Teoremi conseguenza della continuità delle funzioni:

1) Teorema Fondamentale dei Valori Intermedi (l'immagine di una funzione continua su un intervallo è ancora un intervallo!)
2) Teorema degli zeri o di Bolzano
3) Teorema di Weierstrass

I teoremi si possono dimostrare in vari modi e a partire da uno di essi si può dimostrare l'altro ma a mio parere la sequenza più ordinata sarebbe quella con cui gli ho elencati in quanto il 2) e il 3) derivano direttamente e banalmente dal primo; mentre per dimostrare il primo in modo rigoroso occorrono elementi di topologia con i soliti "arzigogolamenti" astratti dei puristi che fanno uso di estremi superiori e successioni convergenti di punti!!

Tuttavia per il primo teorema fondamentale dei valori intermedi si può dare una dimostrazione più semplice (meno rigorosa) che fa riferimento alla sola definizione di continuità della funzione e alla definizione di limite. Spero di poterla esporre in un futuro video-tutorials.

Saluti.