www.easymath.it

Ciao a tutti

Mi potete chiarire qualche dubbio?

Non ho capito che differenza c'è tra il teorema degli zeri e il teorema di weierstrass.
In particolare, perché in molti libri trovo che il teorema di weierstrass si può chiamare anche teorema degli zeri e il teorema degli zeri è diverso da
quello di weierstrass??

presi separatamente li ho capiti (spero )

riporto qui i teoremi.

teorema degli zeri

Sia f(x) una funzione continua in [a,b];
$ f(a) f(b) <0$;

allora esiste un punto C appartenente all'intervallo (a, b) tale che f(c)=0.

Se la f(x) è strettamente monotona lo zero è unico.

teorema di weierstrass

sia f una funzione continua in [a, b] allora la funzione assume massimo e minimo assoluto nell'intervallo [a, b]

Mi potete dire se ho interpretato bene i due teoremi? e perchè il teorema di weierstrass viene chiamo anche teorema degli zeri ??

Vi ringrazio

ps: spero di aver postato nella sezione giusta

Riguardo all'ordine e ai nomi con cui vengono formulati questi importanti teoremi sulle funzioni continue c'è una gran confusione in giro, sia nei libri di testo che da parte dei prof. a tutti i livelli scolastici!!

Vediamo di fare chiarezza:

Siamo nel capitolo della continuità ed esistono alcuni teoremi fondamentali sulla continuità delle funzioni ...

Esiste prima di tutto il seguente teorema fondamentale:

T0) TEOREMA FONDAMENTALE (Qualcuno lo chiama anche Teorema Fondamentale di Bolzano)
Se f è una funzione CONTINUA su di un INTERVALLO I, allora anche f(I) è un INTERVALLO !!

Questo teorema vale inoltre su qualsiasi intervallo I (aperto/chiuso, semi-aperto/semi-chiuso, limitato/illimitato)
Ricordiamo inoltre che col simbolo f(I) si indica "l’insieme delle immagini dei punti di I", ossia
l’insieme dei valori assunti dalla funzione f(x), cioè dalla y della funzione, quando x varia in I.

Nel caso che la funzione sia CONTINUA in un INTERVALLO CHIUSO E LIMITATO,
valgono i quattro importanti TEOREMI qui di seguito elencati:

T1) L’insieme dei valori che la y assume, al variare di x in [a, b], f([a,b]) è anch’esso un intervallo chiuso e limitato!
T2) La funzione f ammette minimo assoluto e massimo assoluto in [a, b] (Teorema di Weierstrass)
T3) La funzione f assume, almeno una volta, ogni valore compreso fra il suo minimo e il suo massimo (Teorema dei Valori Intermedi o di Bolzano)
T4) Se f(a) e f(b) sono discordi, cioè f(a)*f(b)<0, allora f si annulla almeno una volta nell’intervallo aperto ]a, b[ (Teorema dell'Esistenza degli Zeri delle Funzioni Continue o ancora di Bolzano)

NB: Se si aggiunge al teorema T4) l'ipotesi di monotonia si può dimostrare che lo zero è unico per ovvi motivi (se la funzione sale sempre o scende sempre in modo continuo, cioè senza tornare indietro, allora incontra almeno una volta l'asse delle x)

I quattro teoremi derivano tutti dal Teorema Fondamentale su detto (che se preferisci si può chiamare anche teorema T0!)
Vanno formulati e dimostrati esattamente nell'ordine su elencato perchè derivano uno dall'altro proprio in quell'ordine!
Il teorema fondamentale (per intenderci il T0) è l'unico che richiede, per la sua dimostrazione rigorosa, qualche concetto più avanzato di Topologia anche se si può a volte formulare una dimostrazione un po più intuitiva e meno rigorosa con la definizione di limite!

Come vedi spesso il nome "Bolzano" viene usato in più teoremi dato il loro collegamento molto stretto!
Tutto il resto che vedi nei libri o senti a scuola sono "frottole" e "confusioni varie" degli autori o dei prof. con nomi o altre fantasie matematiche!!

Saluti.


PS: Questo topic è nella categoria sbagliata! ... Qui siamo nel capitolo della monotonia che con questi teoremi sulla continuità c'entra ben poco!! ... Lo User Admin provvederà a spostare il topic nella categoria più appropriata dei Teoremi sulla Continuità! ... Ti prego sforzarti di controllare bene la categoria più appropriata prima di postare. Grazie.

Grazie mille ora mi è molto più chiaro