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Salve a tutti,
ho un dubbio sugli intervalli in generale...
Dire che una funzione è definita nel seguente modo:
$f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$
equivale a dire automaticamente che la funzione è continua nell'intervallo [a,b]?

Assolutamente NO !! ... la funzione definita in un intervallo [a,b] vuol dire che essa è punto per punto definita in quell'intervallo, ossia assume valori ben definiti sulla y (quote finite!) per ciascun valore della x! ... questo non vuol dire però che il suo grafico non può avere interruzioni !!

La continuità in un punto comporta la verifica di diverse questioni: il limite destro e sinistro devono esistere entrambi finiti ed entrambi coincidenti con il valore "secco" che assume la funzione nel punto.

Poi la continuità in un intervallo [a,b] comporta che quanto sopra si verifichi in ogni punto di quell'intervallo, con eventuale continuità solo a destra in "a" e solo a sinistra in "b".

Consiglio di guardare bene, a tale proposito, i moltissimi video-tutorials disponibili sullo "Studio della Continuità e Discontinuità" nella opportuna sezione del sito:

Video-Lezioni Esercizi >> Analisi 1 >> Studio di Funzioni >> Studio della Continuità e Discontinuità >> Funzioni Varie

Saluti.