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Ciao, come riconosco una integranda che non ammette primitive esprimibili in termini di funzioni elementari? Mi fate degli esempi? Grazie

Ciao, nel calcolo integrale e ricerca delle primitive non esistono procedimenti o regole universali! ... Per questo si parla ti "tecniche" di integrazione piuttosto che di "regole"!! ... Non esiste un teorema o una regola che permette di capire se di una funzione integranda esiste una primitiva esprimibile "algebricamente", e spesso occorre, nei casi meno semplici, procedere per tentativi con una delle solite poche tecniche a disposizione (scomposizione, sostituzione, per parti, tecniche delle funzioni razionali fratte).

A volte si rende necessario ricorrere a più tecniche combinate, giochetti algebrici o addirittura a "strane" e particolari sostituzioni, come quelle di Eulero per gli integrali di particolari funzioni irrazionali (si veda a tale proposito il forum qui Integrali di Funzioni Irrazionali Particolari); in altri casi servono alcune particolari sostituzioni goniometriche o formule goniometriche.

A tale proposito ti progongo un paio di esercizi:
\[\int {\frac{1}{{2 - \cos (x)}}} \;dx\]
una sua versione più semplice
\[\int {\frac{1}{{1 - \cos (x)}}} \;dx\]
prova a risolverli e posta i risultati (poi ne parliamo)

Infine ecco un esempio di un famoso integrale di cui non è possibile trovare una primitiva algebrica (il famoso integrale di Gauss molto utilizzato in statistica e noto come distribuzione gaussiana):
\[\int {{e^{ - {x^2}}}} dx\]

Saluti.