Integrale irrazionale fratto

[giuliol]

Buonasera,

\[\int \frac{x}{\sqrt{x-1}} dx\]

Non riesco proprio a farlo portare:\[x - 1 = t \rightarrow dx=dt \int \frac{x}{\sqrt{t}} dt\]

Il risultato mi verrà
\[2\sqrt{x+1} + c\]

IN cosa sbaglio??

Grazie

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}dx} \]
in questo caso la sostituzione da utilizzare è
\[\sqrt {x - 1} = t\;\;\; \to \;\;\;x - 1 = {t^2}\;\;\; \to \;\;\;dx = 2t\,dt\]
\[\int {\frac{x}{{\sqrt {x - 1} }}dx} = \int {\frac{x}{t}2t\,dt} = 2\int {x\,dt} = *\]
ricavando la x dalla suddetta sostituzione riusciamo a scrivere tutta la funzione integranda nella sola variabile t ottenendo un integrale immediato
\[x - 1 = {t^2}\;\;\; \to \;\;\;x = {t^2} + 1\]
\[* = 2\int {({t^2} + 1)\,dt} = 2\,(\frac{{{t^3}}}{3} + t) = \frac{2}{3}{t^3} + 2t + c\]

Saluti.

[giuliol]

Grazie professore,
Per intenderci poi (dopo l'asterisco) ha ottenuto:

\[2\int t^2 dt + 1\int dt\]

non credo però perchè così non saprei spiegarmi il 2t.

grazie!

Edit: il 2 moltiplica l'integrando prima delle scomposizione quindi andrà posto anche sul secondo. Capito!

Scusi l'ignoranza!