Integrale per parti con esponenziale

[gloria]

salve,all'interno di una equazione differenziale mi sono trovata davanti a questo integrale che non riesco a risolvere.
\[\int 2x^3 e^{-x^2} dx\]
Sarà di sicuro molto semplice ma è tanto che non uso l'integrazione per parti e non riesco a venirne a capo.grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Ciao,
\[\int 2 {x^3}{e^{ - {x^2}}}dx\]
spezzando la potenza ${{x^3}}$ e raccogliendo un segno meno si ha
\[\int {2{x^3}{e^{ - {x^2}}}dx} = - \int { - 2x\,{e^{ - {x^2}}}{x^2}\;dx} = *\]
da cui integrando per parti con le solite simbologie della formula per parti si ha
\[\int {f' \cdot g\;dx} = [f \cdot g] - \int {f \cdot g'dx} \]
\[f' = - 2x\,{e^{ - {x^2}}}\;\;\; \to \;\;\;f = {e^{ - {x^2}}}\]
\[g = {x^2}\;\;\; \to \;\;\;g' = 2x\]
\[* = - \{ [{e^{ - {x^2}}}{x^2}] - \int {{e^{ - {x^2}}}2x\;dx} \} = - \{ [{e^{ - {x^2}}}{x^2}] + \int { - 2x\;{e^{ - {x^2}}}dx} \} = \]
\[ = - \{ [{e^{ - {x^2}}}{x^2}] + {e^{ - {x^2}}}\} = - \{ {e^{ - {x^2}}}{x^2} + {e^{ - {x^2}}}\} = - {e^{ - {x^2}}}({x^2} + 1)\]

Saluti.