Ciao,
\[\int {{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})\,dx} \]
si tratta di un integrale da risolvere con tecnica mista (per parti e per sostituzione) e non di un integrale per parti ciclico o ricorsivo! ...
Ricordando la formula per parti
\[\int {f' \cdot g\;dx} = [f \cdot g] - \int {f \cdot g'\;dx} \]
e ponendo
\[\begin{array}{l}
f' = {e^{3x}}\;\;\; \to \;\;\;f = \int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}}\\
g = \ln (1 + {e^{3x}})\;\;\; \to \;\;\;g' = \frac{{3{e^{3x}}}}{{1 + {e^{3x}}}}
\end{array}\]
si ha
\[\int {{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})\,dx} = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \int {\frac{1}{3}{e^{3x}}\frac{{3\,{e^{3x}}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = \]
\[ = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \,\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = *\]
ora risolviamo a parte l'integrale
\[\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} \]
usando la tecnica di sostituzione e ponendo
\[{e^{3x}} = t\;\;\; \to \;\;\;3\,{e^{3x}}dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{1}{{3\,{e^{3x}}}}dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{1}{{3\,t}}dt\]
si ha
\[\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = \int {\frac{{{t^2}}}{{1 + t}}\frac{1}{{3\,t}}dt} = \frac{1}{3}\int {\frac{t}{{1 + t}}dt} = \frac{1}{3}\int {\frac{{t + 1 - 1}}{{t + 1}}dt} = \]
\[ = \frac{1}{3}\int {[1 - \frac{1}{{t + 1}}]\,dt} = \frac{1}{3}[\int {1\,dt} - \int {\frac{1}{{t + 1}}} \,dt] = \frac{1}{3}[t - \ln (t + 1)] = \]
\[ = \frac{1}{3}[{e^{3x}} - \ln ({e^{3x}} + 1)] = \frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}})\]
a questo punto rimettiamo insieme l'integrale iniziale
\[* = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \,[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}})] = \]
\[ = \frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}}) - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}}) = \]
\[ = \frac{1}{3}({e^{3x}} + 1)\ln (1 + {e^{3x}}) - \frac{1}{3}{e^{3x}} + c\]
Si noti che la soluzione del tuo libro di testo o della tua fonte differisce rispetto a questa solo di una costante (-1/3), inglobabile nella c arbitraria, e dunque sarà una primitiva equivalente a quella qui trovata.
Saluti.
