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Ciao a tutti, mi trovo a dover risolvere questo integrale:
\[\int {e_{}}^{3x}ln(1+{e_{}}^{3x})dx\]
Dopo aver fatto l'integrale per parti per due volte arrivo a questo risultato:\[\frac{1}{3}{e_{}}^{3x}ln(1+{e_{}}^{3x})-\frac{1}{3}{e_{}}^{3x}ln(1+{e_{}}^{3x})+\frac{1}{3}\int 3{e_{}}^{3x}ln(1+{e_{}}^{3x})dx\]
Poichè ho ottenuto di nuovo l'integrale di partenza, avevo pensato di applicare la tecnica dell'integrale iterattivo, però i primi due membri si annullano e non so come procedere.

Ho provato anche sostituire t ad \[{e_{}}^{3x}\]
oppure \[t= 3x\] ma arrivo sempre allo stesso punto morto.

Il risultato dovrebbe essere:
\[\frac{1}{3}(1+{e_{}}^{3x})ln(1+{e_{}}^{3x})-\frac{1}{3}(1+{e_{}}^{3x})+c\]

Ciao,
\[\int {{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})\,dx} \]
si tratta di un integrale da risolvere con tecnica mista (per parti e per sostituzione) e non di un integrale per parti ciclico o ricorsivo! ...

Ricordando la formula per parti
\[\int {f' \cdot g\;dx} = [f \cdot g] - \int {f \cdot g'\;dx} \]
e ponendo
\[\begin{array}{l}
f' = {e^{3x}}\;\;\; \to \;\;\;f = \int {{e^{3x}}dx} = \frac{1}{3}{e^{3x}}\\
g = \ln (1 + {e^{3x}})\;\;\; \to \;\;\;g' = \frac{{3{e^{3x}}}}{{1 + {e^{3x}}}}
\end{array}\]
si ha
\[\int {{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})\,dx} = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \int {\frac{1}{3}{e^{3x}}\frac{{3\,{e^{3x}}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = \]
\[ = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \,\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = *\]
ora risolviamo a parte l'integrale
\[\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} \]
usando la tecnica di sostituzione e ponendo
\[{e^{3x}} = t\;\;\; \to \;\;\;3\,{e^{3x}}dx = dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{1}{{3\,{e^{3x}}}}dt\;\;\; \to \;\;\;dx = \frac{1}{{3\,t}}dt\]
si ha
\[\int {\frac{{{{({e^{3x}})}^2}}}{{1 + {e^{3x}}}}dx} = \int {\frac{{{t^2}}}{{1 + t}}\frac{1}{{3\,t}}dt} = \frac{1}{3}\int {\frac{t}{{1 + t}}dt} = \frac{1}{3}\int {\frac{{t + 1 - 1}}{{t + 1}}dt} = \]
\[ = \frac{1}{3}\int {[1 - \frac{1}{{t + 1}}]\,dt} = \frac{1}{3}[\int {1\,dt} - \int {\frac{1}{{t + 1}}} \,dt] = \frac{1}{3}[t - \ln (t + 1)] = \]
\[ = \frac{1}{3}[{e^{3x}} - \ln ({e^{3x}} + 1)] = \frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}})\]
a questo punto rimettiamo insieme l'integrale iniziale
\[* = [\frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}})] - \,[\frac{1}{3}{e^{3x}} - \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}})] = \]
\[ = \frac{1}{3}{e^{3x}}\ln (1 + {e^{3x}}) - \frac{1}{3}{e^{3x}} + \frac{1}{3}\ln (1 + {e^{3x}}) = \]
\[ = \frac{1}{3}({e^{3x}} + 1)\ln (1 + {e^{3x}}) - \frac{1}{3}{e^{3x}} + c\]
Si noti che la soluzione del tuo libro di testo o della tua fonte differisce rispetto a questa solo di una costante (-1/3), inglobabile nella c arbitraria, e dunque sarà una primitiva equivalente a quella qui trovata.

Saluti.

Grazie per la risposta,molto chiara. Non credevo che si potesse utilizzare la tecnica della sostituzione in un secondo momento, l'ho sempre utilizzata come prima cosa. C'è qualche modo per capire quando dobbiamo procedere con questa tecnica?

Trattandosi appunto di "tecniche" non esiste un criterio generale per decidere quando applicare una tecnica piuttosto che un altra, ma occorre provare e valutare di volta in volta la questione in funzione delle convenienze algebriche o di calcolo.

Riguardo alla tecnica per parti possiamo dire che il secondo integrale della formula per parti a volte si può (o si deve) gestire ancora per parti oppure con altra tecnica che può essere ad esempio quella per sostituzione.

Riguardo alla tecnica per sostituzione di solito (ma non sempre!) l'idea è quella di individuare un "qualcosa" dipendente da x da porre uguale a t tale che poi, eseguendo il differenziale e riscrivendo tutto in funzione della nuova variabile t, il nuovo integrale risulta immediato, più semplice o comunque gestibile a sua volta con altre tecniche come ad esempio, nel caso del tuo esempio, con la tecnica delle funzioni razionali fratte, ma in altri casi per parti o ancora per ulteriore sostituzione.

In tutti questi casi si parla appunto di "tecniche miste" !!

Saluti.

Capisco, grazie mille per i chiarimenti. Saluti