Integrale definito con funzione logaritmica

[vinx91ct]

Ciao, ho provato a ragionarci su per qualche ora ma non riesco a risolvere questo integrale

\[\int_{2}^{3}x\cdot log\left ( \frac{x}{x-1} \right )\ dx\]

Il ragionamento è questo: risolviamo il seguente integrale indefinito

\[\int x\cdot log\left ( \frac{x}{x-1} \right )\ dx\]

Ed è qui che cominciano i problemi, perché

\[f'(x)=x \rightarrow F(x)=\frac{x^{2}}{2}\]
\[g(x)=\frac{x}{x-1} \rightarrow g'(x)= \ ?\]

Non riesco ad arrivare alla derivata di g(x) e quindi a manipolare l'integrale. Potresti darmi una mano?

Grazie in anticipo per ogni chiarimento

Ciao

[maurizio.schirinzi]

Ciao, applicando la regola di derivazione del rapporto si ha:
\[g(x) = \frac{x}{{x - 1}}\]
\[g'(x) = \frac{{1 \cdot (x - 1) - x \cdot 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{x - 1 - x}}{{{{(x - 1)}^2}}} = \frac{{ - 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}\]
Saluti.

[vinx91ct]

Ah, già vero! Cominciavo a dimenticarmi la regola di derivazione del rapporto. Grazie.

Sorge però un altro piccolo dubbio. Continuo con il procedimento...

\[\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( \frac{x}{x-1} \right ) -\int \left [\frac{x^{2}}{2} \cdot \left ( \frac{-1}{(x-1)^{2}} \right )\right ] \ dx\]

\[\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( \frac{x}{x-1} \right ) -\int - \left [ \frac{x^{2}}{2(x-1)^{2}} \right ]dx\]

\[\frac{x^{2}}{2}\cdot ln\left ( \frac{x}{x-1} \right ) +\frac{1}{2}\int \ \left [\frac{x^{2}}{(x-1)^{2}} \right ]\ dx\]


Come si può scomporre quell' ultimo integrale? Qual è il ragionamento da fare?

[maurizio.schirinzi]

Essendo un integrale di una funzione razionale fratta con a numeratore un polinomio di grado uguale a quello del denominatore occorrerebbe fare la divisione tra i due polinomi con la regola generale, oppure scomporre la frazione con i soliti "giochetti" come di seguito:
\[\int {\frac{{{x^2}}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx\; = \int {\frac{{{x^2} - 1 + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \int {\frac{{(x - 1)(x + 1) + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \]
\[ = \int {[\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;]\;dx = \int {\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \]
\[ = \int {\frac{{x - 1 + 2}}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \int {[1 + \frac{2}{{(x - 1)}}} ]\;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \]
\[ = \int 1 \cdot dx + 2\int {\frac{1}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx = \;...\]
Sul sito troverai diversi video-tutorials di esercizi sul calcolo di integrali di funzioni razionali fratte con tutte le casistiche principali.

Saluti.

[vinx91ct]

Grazie

Una domanda: qual è il ragionamento fatto per arrivare da A -> C o meglio, come si arriva da A a B? E da B a C?

\[\int {\frac{{(x - 1)(x + 1) + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}} \rightarrow \int {\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}}} \ \rightarrow \int {\frac{{x - 1 + 2}}{{(x - 1)}}}\]

[maurizio.schirinzi]

Si aggiunge e si toglie 1, si scompone la differenza di quadrati e poi si spezza la frazione come al solito.

Riguarda più attentamente tutti i passaggi !!

[vinx91ct]

Ciao, grazie della risposta. Allora adesso mi è più chiara nel senso che adesso ho capito che viene semplificato (x-1) con l'esponente "2" al denominatore e quindi questa

\[= \int {[\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}} + \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;]\;dx = \int {\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx =\]

l'ho capita!

Ma questo passaggio continuo a non capirlo

\[\int {\frac{{(x + 1)}}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx \overset{???}{\rightarrow} \int {\frac{{x - 1 + 2}}{{(x - 1)}}} \;dx + \int {\frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}}} \;dx\]

Come si passa dal primo integrale al terzo? In base a quale regola l'integrale di (x+1)/(x-1) diventa integrale di (x-1+2)/(x-1)?

Grazie

[maurizio.schirinzi]

Semplicemente x+1 viene scritto come x-1+2 !!

Questo ci permette di tagliare la frazione come prima rispetto al termine (x-1) che appare sia a numeratore che a denominatore!