www.easymath.it

Credo di averlo eseguito correttamente, ma nei compiti di matematica degli anni passati c'è un altro risultato e il professore lo ha assegnato come risultato corretto.

L'integrale in questione è il seguente

\[\int_{2}^{3} \frac{x+1}{x^2-x} \ \ dx \xrightarrow[professore]{soluzione} log(8)-log(3)\]

Il mio procedimento

Verifico quali sono le soluzioni del polinomio di secondo grado posto a denominatore, quindi

\[x^2-x=0 \rightarrow x_1=0 \ \wedge x_2=1\]

Applico il metodo delle costanti, la cui formula generica è
\[\frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2}\Rightarrow \frac{A}{x-0}+\frac{B}{x-1}=\frac{A(x-1)+B(x-0)}{(x-0)(x-1)}= Ax-A+Bx+0 = (A+B)x-A\]

Dopodiché metto a sistema

\[\left\{\begin{matrix} A+B=1& \\ -A=1& \end{matrix}\right.\rightarrow \left\{\begin{matrix} -1+B=1 & \\ A=-1& \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} B=1+1=2 & \\ A=-1 & \end{matrix}\right.\]

E infine applico la formula

\[\int \left ( \frac{A}{x-x_1}+\frac{B}{x-x_2} \right ) \ dx = \int \left( \frac{A}{x-x_1} \right) \ dx + \int \left (\frac{B}{x-x_2} \right ) \ dx\]

Da cui

\[\int \frac{-1}{x-0} \ dx + \int \frac{2}{x-1} \ dx = -\int \frac{1}{x} \ dx + 2\int \frac{1}{x-1} \ dx=\]
\[=\left [ -log|x| + 2 log|x-1| \right ]_2^3\]

Quindi dalla formula di Newton-Leibniz

\[=\left [ -log(3) + 2 log(2) \right ] - \left [ -log(2)+2log(1) \right]=\]
\[=-log(3)+2log(2)+log(2)=\]

Il mio risultato è

\[=-log(3)+3log(2)\]

Sbaglio io o è sbagliato il risultato scritto nelle slide dei miei esercizi?

No! ... il risultato è giusto perchè per le proprietà dei logaritmi si ha:
\[ - {\rm{log(3)}} + {\rm{3log(2)}} = - {\rm{log(3)}} + {\rm{log}}({2^3}) = - {\rm{log(3)}} + {\rm{log}}(8) = {\rm{log}}(8) - {\rm{log(3)}}\]
Buona occasione per un bel ripasso delle proprietà dei logaritmi di cui sono già disponibili nella sezione di teoria i primi video-tutorials completi sull'argomento "Esponenziali e Logaritmi". ...

Caspita grazie mi ero dimenticato di questa proprietà. Grazie grazie grazie