Integrale di funzione irrazionale con la sostituzione

[Matematica95]

Salve a tutti,
ho provato a risolvere il seguente integrale:
\[\int \sqrt{x^2 + x + 3} dx\]
Ho provato a porre:
\[\sqrt{x^2 + x + 3} = t - x\]
Dopo aver operato le opportune sostituzioni ed aver calcolato il differenzale dt, ho ottenuto un integrale di questo tipo:
\[\int \frac{(t^2 + t + 3)^2}{(2t + 1)^3} dt\]
Come lo svolgereste l'integrale a partire dall'inizio?
Grazie in anticipo

[maurizio.schirinzi]

Essendoci a numeratore un polinomio di 4° grado e a denominatore uno di 3°, occorre prima svolgere i calcoli (quadrato del trinomio e cubo del binomio), poi effettuare la divisione generale tra due polinomi per poter spezzare l'integrale in somma di integrale del quoziente + l'integrale del resto della divisione diviso il divisore. L'integrale del polinomio quoziente sarà banale, mentre il secondo integrale sarà del tipo di funzione razionale fratta con a numeratore un grado minore del denominatore. Dunque si procede con la relativa casistica della teoria sulle tecniche di integrazione delle funzioni razionali fratte!

Saluti.

[Matematica95]

Grazie professore , ho proceduto bene allora ^ ^