Integrali funzioni Irrazionali, problema

[antoniosereno29]

Salve.. sto trovando un po' di difficoltà nella risoluzione di integrali di questo genere:

\[\int (4x^2+9)/((4x^2-18)(\sqrt{x^2-9}))\]

Oppure:


\[\int \sqrt{16-x^2}/(3+x^2)\]


come dovrei risolverli? ringrazio anticipatamente sicuro della risposta ;D

[maurizio.schirinzi]

Ciao, questo tipo di integrali di funzioni irrazionali richiede delle particolari sostituzioni dette da alcuni di Eulero! ...

Nel caso del primo integrale:
\[\int {\frac{{4{x^2} + 9}}{{(4{x^2} - 18)\sqrt {{x^2} - 9} }}} \;dx\]
la sostituzione sarà:
\[\sqrt {{x^2} - 9} = (x - 3)t\;\;\; \to \;\;\;{x^2} - 9 = {(x - 3)^2}{t^2}\;\;\; \to \]
\[ \to \;\;\;(x - 3)(x + 3) = {(x - 3)^2}{t^2}\;\;\; \to \;\;\;(x + 3) = (x - 3){t^2}\;...\]

Analogamente nel caso del secondo integrale:
\[\int {\frac{{\sqrt {16 - {x^2}} }}{{3 + {x^2}}}} \;dx\]
la sostituzione sarà:
\[\sqrt {16 - {x^2}} = (x - 4)t\;...\]

Queste sostituzioni comportano ovviamente un pò di calcoli per esprimere l'integrale tutto in t (calcoli troppo lunghi da riportare qui) ma alla fine si ottiene un integrale di funzione razionale fratta in t da risolvere con le relative tecniche.

Ecco un link dove potrai trovare una trattazione più completa su questo tipo di integrali in attesa che siano disponibili in futuro i nostri video-tutorials:

Integrali di Funzioni Irrazionali

Saluti.

[antoniosereno29]

Grazie :D