Ciao, l'integrale si può risolvere con la tecnica per parti-ciclica nel seguente modo:
\[\int {{{\cos }^3}(x)dx = } \int {\cos (x){{\cos }^2}(x)dx = } \]
scegliendo il fattore finito e il fattore differenziale si ha:
\[f' = \cos (x) \to \;f = sen(x)\]
\[g = {\cos ^2}(x)\]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] - \int {sen(x)2\cos (x)( - sen(x))dx} = \]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] + 2\int {se{n^2}(x)\cos (x)dx} = \]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] + 2\int {(1 - {{\cos }^2}(x))\cos (x)dx} = \]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] + 2\int {(\cos (x) - {{\cos }^3}(x))dx} = \]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] + 2[\int {\cos (x)dx} - \int {{{\cos }^3}(x)dx} ] = \]
\[ = [sen(x){\cos ^2}(x)] + 2[sen(x) - \int {{{\cos }^3}(x)dx} ] = \]
\[ = sen(x){\cos ^2}(x) + 2sen(x) - 2\int {{{\cos }^3}(x)dx} \]
a questo punto, essendo ritornato l'integrale di partenza, l'integrazione è ciclica per parti; basterà imporre l'uguaglianza tra l'integrale di partenza e l'ultimo risultato ottenuto e risolvere l'equazione rispetto all'integrale cercato:
\[\int {{{\cos }^3}(x)dx = } \,sen(x){\cos ^2}(x) + 2sen(x) - 2\int {{{\cos }^3}(x)dx} \]
\[3\int {{{\cos }^3}(x)dx = } \,sen(x){\cos ^2}(x) + 2sen(x)\]
dunque
\[\int {{{\cos }^3}(x)dx = } \,\frac{1}{3}[sen(x){\cos ^2}(x) + 2sen(x)] + c\]
Integrando questa primitiva con gli estremi di integrazione dati $[ - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ si arriva facilmente al risultato dell'integrale definito.
Saluti.
da ascaplboh » 30/12/2013, 1:11 
