Ciao, \[\int {\frac{1}{{1 + {{\cos }^2}(x)}}} \;dx\]
occorre prima di tutto utilizzare le formule parametriche dalla goniometria:
\[\cos (x) = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}}\;\;\;t = tg(\frac{x}{2})\]
poi con la tecnica di sostituzione in t si calcola il differenziale:
\[d[t] = d[tg(\frac{x}{2})]\;\;\; \to \;\;\;dt = \frac{1}{{{{\cos }^2}(\frac{x}{2})}}\frac{1}{2}dx\;\;\; \to \;\;\;dx = 2{\cos ^2}(\frac{x}{2})dt\]
dunque si ha:
\[\int {\frac{1}{{1 + {{\cos }^2}(x)}}} \;dx = \int {\frac{1}{{1 + {{(\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})}^2}}}} \;2{\cos ^2}(\frac{x}{2})\,dt = \;*\]
a questo punto si applicano le formule di bisezione:
\[\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt {\frac{{1 + \cos (x)}}{2}} \;\;\; \to \;\;\;{\cos ^2}(\frac{x}{2}) = \frac{{1 + \cos (x)}}{2}\]
e si ha:
\[* = \int {\frac{1}{{1 + {{(\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})}^2}}}} \;2\frac{{1 + \cos (x)}}{2}\,dt = \int {\frac{1}{{1 + {{(\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})}^2}}}} \;(1 + \cos (x))\,dt = \]
\[ = \int {\frac{1}{{1 + {{(\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})}^2}}}} \;(1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})\,dt = \int {\frac{1}{{1 + \frac{{{{(1 - {t^2})}^2}}}{{{{(1 + {t^2})}^2}}}}}} \;(1 + \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})\,dt = \]
\[ = \int {\frac{1}{{\frac{{{{(1 + {t^2})}^2} + {{(1 - {t^2})}^2}}}{{{{(1 + {t^2})}^2}}}}}} \;(\frac{{1 + {t^2} + 1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}})\,dt = \int {\frac{{{{(1 + {t^2})}^2}}}{{{{(1 + {t^2})}^2} + {{(1 - {t^2})}^2}}}} \;(\frac{2}{{1 + {t^2}}})\,dt = \]
\[ = \int {\frac{{2(1 + {t^2})}}{{1 + 2{t^2} + {t^4} + 1 - 2{t^2} + {t^4}}}} \,dt = \int {\frac{{2(1 + {t^2})}}{{2{t^4} + 2}}} \,dt = \int {\frac{{{t^2} + 1}}{{{t^4} + 1}}} \,dt = \;**\]
il polinomio di 4° grado a denominatore lo scomponiamo in 2 polinomi di secondo grado con la tecnica del completamento del quadrato di un binomio e poi per differenza di quadrati scritta come somma per differenza:
\[{t^4} + 1 = {t^4} + 2{t^2} + 1 - 2{t^2} = {({t^2} + 1)^2} - 2{t^2} = {({t^2} + 1)^2} - {(\sqrt 2 t)^2} = \]
\[ = ({t^2} + 1 + \sqrt 2 t)({t^2} + 1 - \sqrt 2 t) = ({t^2} + \sqrt 2 t + 1)({t^2} - \sqrt 2 t + 1)\]
\[**\int {\frac{{{t^2} + 1}}{{({t^2} + \sqrt 2 t + 1)({t^2} - \sqrt 2 t + 1)}}} \,dt = \;...\]
a questo punto si ha un nomalissimo integrale di funzione razionale fratta con a denominatore 2 fattori polinomiali di 2° grado con delta negativo e si applica la relativa tecnica di decomposizione in fratti complessi coniugati come dalle solite tecniche di integrazione delle funzioni razionali fratte.
Saluti.
da Matematica95 » 23/01/2014, 19:18 
