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Buongiorno professore, ho difficoltà ad eseguire il calcolo di questo integrale e mi piacerebbe capire le tecniche da utilizzare e i passaggi. Cordialmente.

\[\int x\arctan x\]

Grazie

Ciao,
\[\int {x\,arctg(x)\,dx} \]
si tratta di un integrale da gestire prima per parti e poi con le tecniche delle funzioni razionali fratte (decomposizione); ecco di seguito tutti i passaggi:

ricordando la nota formula di integrazione per parti
\[\int {f' \cdot g\,dx} = [f \cdot g] - \int {f \cdot g'dx} \]
e ponendo
\[\begin{array}{l}
f' = x\;\;\; \to \;\;\;f = \frac{1}{2}{x^2}\\
g = arctg(x)\;\;\; \to \;\;\;g' = \frac{1}{{{x^2} + 1}}
\end{array}\]
abbiamo
\[\int {x\,arctg(x)\,dx} = [\frac{1}{2}{x^2}arctg(x)] - \int {\frac{1}{2}{x^2}\frac{1}{{{x^2} + 1}}} \,dx = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 1}}\,} dx = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}\int {\frac{{{x^2} + 1 - 1}}{{{x^2} + 1}}\,} dx = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}\int {[1 - \frac{1}{{{x^2} + 1}}\,]\,} dx = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}[\int {1\,dx} - \int {\frac{1}{{{x^2} + 1}}dx} ] = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}[x - arctg(x)] = \]
\[ = \frac{1}{2}{x^2}arctg(x) - \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}arctg(x)\]

Saluti.