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Salve, spero che sto scrivendo nella sezione giusta (perdonate la mia ignoranza in caso contrario).

Ho problemi con la risoluzione del seguente integrale indefinito:
\[\int \frac{1-e^{\frac{x}{2}}}{1+e^{\frac{x}{2}}}e^xdx\]

Potreste darmi una mano? Quali tecniche scartereste e perché?

Grazie!

L'integrale andrebbe svolto prima per sostituzione ponendo \[t = {e^{\frac{x}{2}}}\] da cui calcolando il differenziale e con i soliti passaggi della tecnica di sostituzione si arriva ad un integrale di una funzione razionale fratta nella sola t: \[\int {\frac{{ - {t^2} + t}}{{t + 1}}} dt\] da cui, essendo una funzione razionale fratta con al numeratore un polinomio di grado superiore a quello del denominatore, occorrerà effettuare prima una divisione tra i polinomi per "spezzare" la frazione e quindi l'integrale come di seguito: \[\int {( - t + 2 + \frac{{ - 2}}{{t + 1}}} )dt = \int {( - t + 2} )dt + \int {\frac{{ - 2}}{{t + 1}}} dt = - \frac{1}{2}{t^2} + 2t - 2\ln (\left| {t + 1} \right|)\] da cui ritornando in x si avrà: \[ - \frac{1}{2}{e^x} + 2{e^{\frac{x}{2}}} - 2\ln ({e^{\frac{x}{2}}} + 1) + c\]
si noti che il valore assoluto si può togliere perchè il suo contenuto è sempre positivo.

Poichè questo integrale andava gestito con 2 diverse tecniche (per sostituzione prima e poi mediante le tecniche delle funzioni razionali fratte) nell'indice di EasyMath ITALIA viene classificato nella categoria degli "Integrali di Funzioni Varie con tecniche miste". User Admin provvederà quindi a spostare questa discussione nella giusta categoria.

ciao

Ho dovuto rispolverare la divisione tra polinomi

Sbaglio o manca da moltiplicare tutto per 2? Perché $dx = 2\frac{dt}{t}$... e l'ho messo sempre fuori dall'integrale dato che è una costante.

Grazie per l'aiuto!

SI !! ... dopo la sostituzione, facendo il differenziale, salta fuori un 2 che va messo poi fuori dell'integrale della funzione razionale fratta in t.
Non l'ho considerato nella risoluzione a parte dell'integrale della funzione razionale fratta, ma poi alla fine va rimesso ovviamente nella soluzione finale ottendendo quindi la soluzione definitiva: \[ -{e^x} + 4{e^{\frac{x}{2}}} - 4\ln ({e^{\frac{x}{2}}} + 1) + c\]